UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 4a
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.
(a) Seja um subespaço de , contendo . Se , então é o vetor nulo.
Passo 1
Faaala pessoal!
Aqui vamos ter que fazer demonstração ok?
Mas vai ser bem simples, prometo! Vamos lá
Temos um vetor que pertence ao subespaço
E aí temos um outro vetor que pertence ao complemento ortogonal de
Será que esse só pode ser o vetor nulo ou pode ser algum outro vetor? É isso que vamos ver aqui :P
Sabemos que os vetores do complemento ortogonal devem ser ortogonais aos vetores de
Ou seja, eles devem ter produto interno igual a 0!! Vamos partir disso ok?
Passo 2
Seja , temos que vai ser:
Como está em e está em , o produto interno entre eles deve ser :
Então:
Cara, esse produto interno deu simplesmente as coordenadas ao quadrado e multiplicadas por 0
Ou seja, temos uma soma de vários valores positivos! A única forma de isso dar 0 é se todos esses números valerem , ou seja
Logo, o vetor só pode ser:
O vetor nulo!
Passo 3
Basicamente, nesse exercício descobrimos que 2 vetores paralelos não podem estar em conjuntos ortogonais, a não ser que seja o vetor nulo, fechou?