UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE – 2017.2, Questão 2cd
Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
c) é um subespaço vetorial do
d) Seja um espaço vetorial com Existem e subespaços vetoriais de com e
Passo 1
c)
Para confirmar que um conjunto é subespaço vetorial do temos que verificar 3 coisas: contém o vetor nulo, está fechado para a soma vetorial e para a multiplicação por escalar.
Conseguimos ver que vamos agora analisar a soma:
Vamos pegar dois vetores de
e
Bora fazer a soma:
Agora temos que analisar para ver se esse vetor pertence ao conjunto Se sim, então é fechado para a soma.
Tenho que e , então, Da mesma forma e , então, . Logo, é fechado para a soma.
Vamos testar, agora, a multiplicação por escalar:
Mas se for negativo , a primeira coordenada, que deve ser positiva, passa a ser negativa e a terceira, que deve ser negativa, passa a ser positiva.
e
Assim, o vetor deixa de pertencer ao e percebemos que o conjunto não é fechado para multiplicação por escalar, tornando a afirmativa falsa.
Passo 2
d)
Essa afirmativa é falsa, vamos entender o por quê.
Se e são subespaços vetoriais de , também vai ser. Além disso, todos esses subespaços de devem ter a dimensão menor que a de ou seja, menor que
Sabemos essa fórmulinha aqui que podemos aplicar:
Opa, , logo isso aí é impossível.
Resposta
c)Falsa
d)Falsa