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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q7

Suponha que S 1   e   S 2 são subespaços vetoriais de um espaço vetorial E e considere as seguintes afirmações:

( I ) S 1 ∪ S 2 é um subespaço vetorial de E se e somente se S 1 ∩ S 2 ≠ { 0 E }

( I I ) pode existir um subespaço vetorial S de E tal que S 1 ∪ S 2 ⊂ S ⊂ S 1 + S 2 , com S 1 ∪ S 2 ≠ S

E S ≠ S 1 + S 2

( I I I ) para todo u ∈ S 1 + S 2 , existem únicos v 1 ∈ S 1   e   v 2 ∈ S 2 tais que u = v 1 + v 2

Então está correto afirmar que:

a )   s o m e n t e   I   é   v e r d a d e i r a

b )   s o m e n t e   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

c )   s o m e n t e   I I   é   v e r d a d e i r a

d )   a s   t r ê s   a f i r m a l ç õ e s   s ã o   f a l s a s

e )   s o m e n t e   I I I   é   v e r d a d e i r a

Passo 1

Falaa, blz?? Bora começar essa questão analisando a primeira afirmação:

S 1 ∪ S 2   é   s u b .   ↔ S 1 ∩ S 2 ≠ { 0 E }

Nesse tipo de questão é interessante pensarmos em exemplos de subespaços triviais de E, pois são rápidos para testar, bora lembrar quem são eles?

T o d o   e s p a ç o   E   a d m i t e   d o i s   s u b e s p a ç o s   t r i v i a i s ,   s ã o   e l e s   o   c o n j u n t o   0 E   e   o   p r ó p r i o   E .

Bora testar eles na hipótese da questão e ver o que ocorre.

A questão nos diz que se S 1 ∪ S 2 for subespaço, então temos que S 1 ∩ S 2 ≠ { 0 E } . Porém, veja que podemos tomar S 1 = E   e   S 2 = 0 E , nesse caso   S 1 ∪ S 2 = E   ( S u b e s p a ç o   d e   E ) e temos que S 1 ∩ S 2 = { 0 E } , ou seja, contrariando a afirmação.

Passo 2

Agora vamos ver a outra afirmação.

( I I ) pode existir um subespaço vetorial S de E tal que S 1 ∪ S 2 ⊂ S ⊂ S 1 + S 2 , com S 1 ∪ S 2 ≠ S

E S ≠ S 1 + S 2

O mais comum nesse tipo de questão é tentar pensar em exemplos e ver o que acontece, porém temos outro jeito de resolver e como já usamos isso do exemplo bora de outra maneira.

Bom, uma forma de resolver é pensar na dimensão desses caras envolvidos na questão. Bora ver isso:

Usaremos que dim ⁡ S 1 + S 2 =   dim ⁡ S 1 + dim ⁡ S 2 - d i m ⁡ ( S 1 ∩ S 2 ) , como S ⊂ S 1 + S 2 :

dim ⁡ S < dim ⁡ S 1 + dim ⁡ S 2 - d i m ⁡ ( S 1 ∩ S 2 )

Além disso, por conta de S 1 ∪ S 2 ⊂ S , temos:

dim ⁡ S >   dim ⁡ S 1 + dim ⁡ S 2 ,     o u   a i n d a   dim ⁡ S 1 + dim ⁡ ( S 2 ) < dim ⁡ S

Somando as duas inequações:

dim ⁡ S + dim ⁡ S 1 + dim ⁡ ( S 2 ) < dim ⁡ S 1 + dim ⁡ S 2 - d i m ⁡ ( S 1 ∩ S 2 ) + dim ⁡ S

- dim ⁡ S 1 ∩ S 2 > 0 → dim ⁡ S 1 ∩ S 2 < 0

Que é um absurdo, logo o que o enunciado propõe está errado.

Passo 3

Bora para a última:

( I I I ) para todo u ∈ S 1 + S 2 , existem únicos v 1 ∈ S 1   e   v 2 ∈ S 2 tais que u = v 1 + v 2

Nessas afirmações que jogam expressões como “existem únicos e para todo” vale a gente pensar em exemplo pequenos e ver se funciona no geral.

Bora tomar S 1 de dimensão 2 e S 2 de dimensão 1.

Agora temos que usar o seguinte resultado:

Se tivermos S 1 =   v 1 → , v 2 →   e   S 2 = v 3 →   →   S 1 + S 2 =   v 1 → , v 2 → , v 3 →   se os vetores são L.I.

A notação usada é:

S 2 = v 3 →     s i g n i f i c a   q u e   S 2   é   g e r a d o   p o r   v 3 →

S 1 =   v 1 → , v 2 →   s i g n i f i c a   q u e   S 1 é   g e r a d o   p o r   v 1 → e     v 2 →

Ou seja, podemos tomar B = v 1 → , v 2 → , v 3 → base de S 1 + S 2 .

Porém, existe um teorema que nos diz que sendo B uma base de um espaço V, temos que todo elemento de V é escrito de forma única como combinação linear de B, ou seja, a afirmação está correta

Questãozinha um pouco grande, com muitos detalhes mas no final deu tudo certo, bora para próxima?

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão