Espaços Vetoriais
Seja o espaço dos polinômios da forma
Em qual dos casos abaixo o subconjunto não é subespaço vetorial de ?
Passo 1
Ei, vamo lembrar primeiro o que é um subespaço vetorial!
Ele é um subconjunto de um espaço vetorial (nesse caso do espaço ) que mantém todas as combinações lineares de um vetor lá dentro. Além disso, ele deve conter o vetor nulo.
O espaço está escrito na base , e portanto tem dimensão .
Mas eu sei que o espaço de dimensão que você está acostumado é o , então vamos escrevê-lo na base canônica de , .
Passo 2
É, parece que teremos que analisar cada uma das alternativas!
Vamos dar uma olhada na letra .
Lá diz que
Assim, substituindo em :
Conseguimos escrever um parâmetro em função do outro!
Então é um conjunto linear que possui dois parâmetros, logo é um subespaço de com dimensão .
Passo 3
Olhando agora a letra :
Substituindo:
Novamente, conseguimos escrever um parâmetro em função de 2 outros!
Esse também é um conjunto linear com 2 parâmetros, e .
É um subespaço de dimensão .
Passo 4
E a ?
Conseguimos denovo reparametrizar o p !
O subconjunto fica assim:
Com esses dois parâmetros, é um subespaço de dimensão igual a .
Passo 5
Tem que ser essa...
Iiiih, caramba.
Que parada doida é essa? ¬¬’
Como você já reparou (ou não), esse negócio esquisito é uma equação do 2º grau tanto em como em e em , que é uma equação não-linear. Por isso não conseguiremos isolar nenhuma das variáveis, e não há relação linear entre elas!
Seja lá o que isso for, definitivamente, não é um subespaço vetorial, e nem tem como saber facilmente a dimensão disso.
Resposta
Letra