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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 13

Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço vetorial de R 3 dado por:

S   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 :   x   +   2 y   +   2 z   =   0 }

Se v   ∈   S   e   w   ∈   S ⊥ forem tais que v   +   w   =   ( 1 ,   1 ,   1 ) , então:

  1. w = ( 1 9 , 2 9 , 2 9 )
  2. w = ( - 1,1 , 3 )
  3. w = ( 1,0 , 1 )
  4. w = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 )
  5. w = ( 5 9 , 10 9 , 10 9 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar quem é o vetor w , sabendo que

S   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 :   x   +   2 y   +   2 z   =   0 }

v   ∈   S   e   w   ∈   S ⊥

v   +   w   =   ( 1 ,   1 ,   1 )

Show? Vamos nessa.

Se   w   ∈   S ⊥ (pertence ao complemento ortogonal de S ) então para quaisquer v   ∈   S   e   w   ∈   S ⊥

  < v ,   w   > = 0

Então seja w   =   ( 1,2 , 2 )   e   v = ( x , y , z ) . Logo

< w ,   v   > = x + 2 y + 2 z

mas como v ∈ S

= 0

Logo S ⊥ = s p a n { ( 1,2 , 2 ) } .

Agora que temos nosso espaço ortogonal. Podemos tentar encontrar w

Passo 2

Descobrimos que S ⊥ = s p a n { ( 1,2 , 2 ) } . E o enunciado diz que v   +   w   =   ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Como podemos encontrar w ?

bem podemos tentar chutar alguns valores para v .

v   +   w   =   ( 1 ,   1 ,   1 )

⇒ v + c ( 1,2 , 2 ) = ( 1,1 , 1 ) ;   c o m   c ∈ R

⇒ v = ( 1 - c , 1 - 2 c , 1 - 2 c )

Agora, por hipótese. temos que v ∈ S . Logo

( 1 - c )   +   2 ( 1 - 2 c )   +   2 ( 1 - 2 c )   =   0

ou seja,

c = 5 9

Dessa forma, como

w = c ( 1,2 , 2 )

⇒ w = 5 9 ( 1,2 , 2 )

= ( 5 9 , 10 9 , 10 9 )

valor presente na alternativa e

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e)

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão