Seja H um subespaço vetorial de R n tal que D i m H = k < n :

  1. Existe uma matriz A ,   n × k , tal que H = I m A
  2. Existe uma matriz A ,   n × k , tal que H = N A

a   Ambas são falsas.

b   Ambas são verdadeiras.

c   A I é verdadeira e I I é falsa.

d   I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Vamos lá, uma matriz n × k , ou seja, que realiza a seguinte opeação : R k → R n .

E onde fica a imagem? No contradomínio! Então temos que:

dim ⁡ I m A ≤ n

E o núcleo? No domínio é claro! Então:

dim ⁡ N A ≤ k

Também sabemos que H é um subespaço vetorial de R n certo? Então seus vetores tem todos dimensão n !

Passo 2

Ta agora vamos ler as afirmativas.

Afirmativa I :

Ta falando que H = I m A . De fato, a imagem está no R n assim como H , então isso é possível.

Agora vamos checar se é possível pelo TNI:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N A = dim ⁡ D o m A

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N A = k

Logo, dim ⁡ I m A ≤ k

E pela afirmativa temos que:

k = dim ⁡ H = dim ⁡ I m A ≤ k

k ≤ k

Bom, essa inequação é com certeza verdade, então é sim possível existir essa A .

Passo 3

Afirmativa I I :

Essa não é possível nem em um milhão de anos. Perceba que o núcleo de A faz parte do R k . Então seus vetores possuem dimensão k . Já o subespaço H , apesar de ter dimensão k , faz parte do R n !!!! Então ele nunca poderia ser o núcleo já que seus vetores têm dimensão n sacou?

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão