A2 T5
Assinale o conjunto que NÃO É um subespaço vetorial:
O conjunto de matrizes reais cujo elemento da primeira linha e da segunda coluna de é igual a .
O espaço gerado pelas colunas de uma matriz real .
O conjunto das matrizes triangulares superiores.
O conjunto das matrizes tais que , onde é uma matriz dada.
Passo 1
Primeiro temos que lembrar o que um conjunto deve ter para ser um subespaço! Ele deve ser fechado pra soma e para a multiplicação por escalar, além de possuir o vetor nulo. Então vamos ver qual opção não tem um desses!
Esse conjunto definido por essa alternativa tem o elemento da primeira linha e segunda coluna igual a . Então a matriz geral desse conjunto é:
Bom, como o enunciado nem a alternativa não mencionaram nada, nós usamos as operações usuais. Dito isso, vamos ver se é fechado para soma:
Opa, resultado da soma não tem o elemento da primeira linha e da segunda coluna igual a ! Então ele não faz parte do conjunto e não é fechado para soma. Isso quer dizer que o conjunto dado não é um subespaço! Na verdade, esse conjunto não cumpre com nenhuma das condições haha.
Mesmo já sabendo que essa é a resposta vamos verificar os outros pra praticar.
Passo 2
O espaço gerado pelas colunas de uma matriz é a sua imagem. E nós sabemos que a imagem de uma matriz é sempre um subespaço vetorial, então essa alternativa é correta.
Passo 3
Agora ele quer saber do conjunto das matrizes triangulares superiores, que tem como termo geral a matriz:
Vamos ver se é fechado para soma:
O resultado continua sendo triangular superior, então tá certinho.
Agora se é fechado para o produto por escalar:
Também continua sendo triangular superior.
Por último, vamos ver se possui o elemento nulo. Bom, uma matriz triangular superior sempre deve ter os elementos abaixo da diagonal principal zerados. Mas nada é especificado sobre os elementos na diagonal e acima dela. Então podemos fazer o que quisermos com eles, inclusive igualar a zero! Logo, a matriz:
também é triangular superior. Assim, confirmamos que este é um subconjunto.
Passo 4
Vamos reparar no seguinte. Ele quer o conjunto das matrizes tais que . Po, mas se , isso quer dizer que é o núcleo de certo? Então o conjunto que ele está definindo é o conjunto dos vetores que estão no núcleo de uma matriz dada.
E assim como a imagem, sabemos que o núcleo de uma matriz é sempre um subespaço vetorial!!
Resposta
Letra