Seja um sistema de equações lineares que tem como matriz de coeficientes:

A = 1 2 3 2 4 5 3 5 6

a Determine o posto e a nulidade de A

b É possível que o sistema tenha grau de liberdade maior ou igual a 1 ?

c Determine a matriz de termos independentes do sistema para que seu conjunto solução seja um subespaço de R 3

Passo 1

a Escalonando o sistema homogêneo associado à A :

1 2 3 2 4 5 3 5 6 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 - 3 L 1 1 2 3 0 0 - 1 0 - 1 - 3 0 0 0 → L 3 ⟷ L 2 1 2 3 0 - 1 - 3 0 0 - 1 0 0 0

Como nenhuma linha foi zerada, temos 3 linhas L I , e portanto 3 colunas L I . Logo, o posto da matriz é 3 . Pelo T N I , temos também que a nulidade da matriz é 0 .

Passo 2

b Temos que a matriz de coeficientes do sistema é sobrejetiva e injetiva. Ou seja, ela leva todo vetor do domínio em exatamente um vetor do contradomínio. Portanto, para quaisquer termos independentes que escolhamos, teremos uma solução única, com grau de liberdade zero.

Passo 3

c O conjunto solução (um único ponto em R 3 ) só será um subespaço de R 3 se este ponto for a origem. Portanto, a matriz de termos independentes deve ser:

0 0 0

Resposta

a Posto é 3 e a nulidade é 0 .

b Temos que a matriz de coeficientes do sistema é sobrejetiva e injetiva. Ou seja, ela leva todo vetor do domínio em exatamente um vetor do contradomínio. Portanto, para quaisquer termos independentes que escolhamos, teremos uma solução única, com grau de liberdade zero.

c 0 0 0

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão