A1 T24; A2 T5
Considere as seguintes afirmações:
O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real são subespaços, respectivamente, do e do , e suas dimensões são iguais.
é subespaço do .
Qual das opções abaixo é CORRETA?
A afirmativa é falsa e é verdadeira.
A afirmativa é falsa e é falsa.
A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.
A afirmativa é verdadeira e é falsa.
Passo 1
Vamos analisar a
Ela é de fato, verdadeira. Sabemos que o espaço coluna (imagem da matriz) e o espaço linha (imagem da transposta) sempre serão subespaços vetoriais.
Além disso, sabemos que a imagem se encontra no contra-domínio da matriz. Sendo assim temos:
Logo, o espaço coluna (imagem de ) se encontra no e o espaço linha (imagem de ) se encontra no , assim como diz a afirmativa.
Por fim, também sabemos que suas dimensões sempre serão iguais. Essa afirmativa está correta.
Passo 2
Agora a
O primeiro passo é escrevermos o termo geral de . Então vamos entender a condição do conjunto:
Então podemos ter vetores de duas formas em :
Esse é importante! Não se confunda com o espaço gerado por esses dois vetores que encontramos! Os elementos de são múltiplos de um desses vetores. Para ser um subespaço ele deve ser fechado para soma e para o produto, além de conter o vetor nulo. Vamos testar para a soma:
Po com certeza não faz parte de então ele não é um subespaço vetorial do .
Resposta
Letra