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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2018, Prec, Q1

Considere os subespaços de P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

V = t + 2 t 2 + 2 t 3 , 1 + t , 3 + t + 5 t 2 + 2 t 3

E

W = a + a + 3 b t 2 + 2 b t 3 ∈ P 3 R ; a , b ∈ R

Então, a dimensão de V + W é igual a:

a )   3

b )   1

c )   5

d )   2

e )   4

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bora começar essa provinha entendendo o que podemos fazer para analisar a dimensão de V + W .

Uma forma de analisar a dimensão de V + W é vendo qual a interseção desse subespaço e usando:

d i m d i m   ( V + W ) = d i m d i m   V   + d i m d i m   W   - d i m d i m   V ∩ W    

Temos que d i m d i m   V   = 3 , pois ele é gerado por 3 vetores L.I.

Além disso, vamos analisar a dimensão de W:

p W t ∈ W → p W t = a + a + 3 b t 2 + 2 b t 3 = a 1 + t 2 + b 3 t 2 + 2 t 3

Ou seja:

W = 1 + t 2 , 3 t 2 + 2 t 3 → d i m d i m   W = 2  

Passo 2

Agora falta a gente analisar a d i m d i m   V ∩ W   .

Primeiro vamos analisar quem seria um cara de V:

p t = x 1 t + 2 t 2 + 2 t 3 + x 2 1 + t + x 3 ( 3 + t + 5 t 2 + 2 t 3 )

p t = x 2 + 3 x 3 + t x 1 + x 2 + x 3 + t 2 2 x 1 + 5 x 3 + t 3 ( 2 x 1 + 2 x 3 )

Agora, veja que qualquer cara de W pode ser escrito como alguém de V, pois deve seguir o padrão de W, W = a + a + 3 b t 2 + 2 b t 3 ∈ P 3 R ; a , b ∈ R

Por conta disso, para p t estar em W temos que t x 1 + x 2 + x 3 = 0 → x 1 + x 2 + x 3 = 0

Além disso, temos que:

{ x 2 + 3 x 3 = a                       x 1 + x 2 + x 3 = 0         2 x 1 + 5 x 3 = a + 3 b   2 x 1 + 2 x 3 = 2 b                  

Se isso acima de fato ocorrer, temos que qualquer cara de W pode ser escrito como alguém de V, portanto, como W ∩ V = W → d i m d i m   W ∩ V = 2  

Passo 3

Porém o que queremos que aconteça de fato acontece, basta olharmos a primeira e última, de começo:

a = x 2 + 3 x 3 ,     b = x 1 + x 3 → a + 3 b = x 2 + 3 x 3 + 3 x 1 + x 3 =

      = x 1 + x 2 + x 3 + 2 x 1 + 5 x 3 = 0 + 2 x 1 + 5 x 3

Que é a nossa terceira equação. Logo, sempre conseguimos achar x 1 , x 2 , x 3 que façam p ( t ) se enquadrar em W

Usando a relação d i m d i m   ( V + W ) = d i m d i m   V   + d i m d i m   W   - d i m d i m   V ∩ W    

d i m d i m   V + W = 3 + 2 - 2 = 3  

Resposta

Letra A

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b. {B in M_n n| A B != B A } .
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