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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, PSUB, 2018, Q13

Seja P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R . Considere o subconjunto:

V = p x   ∈ P 3 R   : p 1 = 0   e   p ' 0 = 0

Podemos afirmar que:

a )   V não é subespaço vetorial de P 3 ( R )

b ) V é subespaço vetorial de P 3 R ,   e   1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 , 1 - t 3 é base de V

c )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

d )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

e ) V é subespaço vetorial de P 3 R ,   e   1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 é base de V

Passo 1

Falaaaaa, blz?? Antes de começarmos a fazer a questão bora fazer uma visualização geral dela.

Esse problema em envolve subespaço vetoriais e queremos ver quem é esse conjunto V, ver se é um subespaço vetorial e se sim qual sua base. Bora lembrar o que é necessário para um subconjunto V de um espaço E ser subespaço?

i )   0 E → ∈ V

i i )   ∀   u , v ∈ V ,   t e m o s   q u e   u + v ∈ V

i i i )   ∀   α ∈ R   e   v ∈ V ,   t e m o s   q u e   α v ∈ V

Agora nosso objetivo é checar as 3 propriedades dentro de V.

Passo 2

Bora lá, primeiro vamos tomar p x ∈ V , temos que:

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 , com p 1 = 0   e   p ' 0 = 0 , ou seja:

Se p 1 = 0 :

a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0

Se p ' 0 = 0 :

p ' x = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2

p ' 0 = 0   → a 1 = 0

Ou seja, podemos escrever p x   c o m o :

p x = a 0 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = - a 2 + a 3 + a 2 x 2 + a 3 x 3

Agora bora checar as propriedades para ver se V é subespaço.

Primeiro, temos que 0 P 3 R → = p x = 0   polinômio identicamente nulo,

Olhe que - 0 + 0 + 0 x 2 + 0 x 3 = 0   é   d o   t i p o   - a 2 + a 3 + a 2 x 2 + a 3 x 3 , logo está em V

Portanto, 0 P 3 R → ∈ V , então a propriedade (i) é satisfeita.

Bora checar a segunda propriedade, tomaremos o mesmo p e agora pegaremos

q = b 0 + b 2 x 2 + b 3 x 3 ∈ V

Vamos checar se a soma está em V:

p + q = a 0 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + b 0 + b 2 x 2 + b 3 x 3  

=   ( a 0 + b 0 ) + ( a 2 + b 2 ) x 2 + ( a 3 + b 3 ) x 3

Veja que basta tomar c 0 =   ( a 0 + b 0 ) ; c 2 = ( a 2 + b 2 ) ; c 3 = ( a 3 + b 3 )  

Ou seja, p + q = h x = c 0 + c 2 x 2 + c 3 x 3 ∈ V

Agora basta checar a última propriedade, queremos ver se α p ( x ) ∈ V

α p x =   α a 0 + a 2 x 2 + a 3 x 3 =   α a 0 + α a 2 x 2 + α a 3 x 3

Veja que basta tomar α a 0 = d 0 ;   α a 2 = d 2 ;   α a 3 = d 3 e teremos que:

α p x ∈ V

Logo, como as 3 propriedades são satisfeitas, temos que V é um subespaço.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é achar qual das bases dadas nas alternativas servem para nosso subespaço.

p x = a 0 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = - a 2 + a 3 + a 2 x 2 + a 3 x 3

Vamos analisar cada item.

b ) V é subespaço vetorial de P 3 R ,   e   1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 , 1 - t 3 é base de V

Essa alternativa não pode ser verdadeira pois 1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 , 1 - t 3 nem base é, uma vez que os polinômios não são L.I, pois 1 - t 3 = 2 - t 2 - t 3 - ( 1 - t 2 )  

c )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

Vamos ver se uma combinação com essa base serve para nosso V

q x = a 1 - t + t 2 - t 3 + b 1 - t 2

= t 3 - a + t 2 a - b + t - a + ( a + b )

Veja que seria necessário a = 0 ( z e r a r   t e r m o   d e   g r a u   1 ) , mas se a = 0 o termo de grau 3 será zero também, logo não se encaixa em um polinômio de V

d )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

Faremos o mesmo processo:

q x = a 1 - t + t 2 - t 3 + b 1 - t 3 + c ( 1 - t 2 )

= t 3 - a - b + t 2 a - c + t - a + a + b + c

Pelo mesmo argumento, para zerar o termo de grau 1, temos que a = 0 , logo:

q x = t 3 - b + t 2 - c + b + c

Agora veja que p x ∈ V   →   p x = a 0 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = - a 2 + a 3 + a 2 x 2 + a 3 x 3

Veja que nosso q ( x ) se enquadra, logo essa alternativa tá correta

Questão um pouco grande, porém deu tudo certo, bora para a próxima?

Resposta

Letra D

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão