UFES, Álgebra Linear, P2 Tarde, 2017.2 - Questão 7a
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justificando sua resposta.
a) é um subespaço vetorial de .
Passo 1
E aí pessoal, tudo belezinha?
Ó, nesse exercício vamos ter que verificar se é verdade ou mentira que o conjunto é um subespaço vetorial de
Esse conjunto engloba apenas os polinômios de grau menor ou igual a 5 onde , belezura?
Pra isso, vamos lembrar que um subespaço vetorial tem que cumprir com esses axiomas:
-
- para
- , para
Então vamos ver se o conjunto cumpre com isso, beleza?
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro axioma: o polinômio nulo tem que pertencer ao conjunto
Realmente né gente, o polinômio nulo cumpre com , porque olha:
Portanto, ta confirmado que o polinômio nulo está no conjunto
Passo 3
Agora vamos para o segundo axioma 😊 Se tivermos 2 polinômios e que pertencem ao conjunto , eles vão cumprir com
Agora temos que ver se também pertence a
Temos que
Logo, , e portanto, ele pertence ao conjunto também
O segundo axioma ta verificadíssimoooo
Passo 4
Agora só falta o terceiro axioma. Temos que ver se pertence a , caso pertença
Temos que
Multiplicando os dois lados por :
Ou seja, quando multiplicamos por uma constante, o resultado continua sendo 0 :P
Logo, o terceiro axioma também vale pro conjunto
Como o conjunto cumpre os 3 axiomas, realmente ele é um subespaço vetorial, fechou?
Resposta
Verdadeiro