Considere o seguinte subespaço W = 2 , 0,1 , 1 , 1 , - 2,0 , 2 , - 1,1 , - 1 , - 2 do R 4 . Seja v = 4 , 3,2 , k . Determine para que valor(es) de k temos v ∈ W .

Passo 1

Bom, se v ∈ W então v é combinação linear daqueles vetores que geram W . Uma forma rápida de ver isso é jogando tudo nas linhas de uma matriz e escalonando. Se a linha com v zerar, é porque é combinação linear das outras! Se liga:

2 0 1 1 1 - 2 0 2 - 1 1 - 1 - 2 4 3 2 k → L 2 ← L 2 - L 1 2 L 3 ← L 3 + L 1 2 L 4 ← L 4 - 2 L 2 2 0 1 1 0 - 2 - 1 2 3 2 0 1 - 1 2 - 3 2 0 3 0 k - 2 → L 3 ← L 3 + L 2 2 L 4 ← L 4 + 3 L 2 2 2 0 1 1 0 - 2 - 1 2 3 2 0 0 - 3 4 - 3 4 0 0 - 3 4 4 k + 1 4 → L 4 ← L 4 - L 3 2 0 1 1 0 - 2 - 1 2 3 2 0 0 - 3 4 - 3 4 0 0 0 k + 1

Prontinho. Agora ficou fácil né! Pra linha do v gerar, e portanto termos v ∈ W , precisamos que k = - 1 .

Resposta

k = - 1

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