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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

A2 T5

Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

a O subconjunto de P 3 dado por W = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = 0   e   a 3 - a 2 = 0 é um subespaço vetorial? Justitique.

b Verifique que o conjunto de P 3 dado por A = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = - 1   e   a 3 - a 2 = 1 é um subespaço afim e determine o subespaço de P 3 ao qual ele é paralelo. Justifique.

Passo 1

a Vamos ver se W é fechado para soma, produto por escalar e se contém o polinômio nulo.

i O polinômio nulo é 0 + 0 t + 0 t 2 + 0 t 3 satisfaz a 1 - a 0 = 0 e a 3 - a 2 = 0 , logo, W contém o elemento nulo.

i i Vamos tomar dois polinômios p t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 e q t = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 . Se ambos pertencerem a W teremos a 1 = a 0 e a 3 = a 2 :

p t = a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3

q t = b 1 + b 1 t + b 2 t 2 + b 2 t 3

Somando:

p t + q t = a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3 + b 1 + b 1 t + b 2 t 2 + b 2 t 3

p t + q t = a 1 + b 1 + a 1 + b 1 t + a 2 + b 2 t 2 + a 2 + b 2 t 3

De fato, continua valendo a 1 = a 0 e a 3 = a 2 , logo W é fechado para a soma.

i i i Pegando aquele mesmo p t que definimos em i i :

p t = a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3

λ p t = λ a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3

λ p t = λ a 1 + λ a 1 t + λ a 2 t 2 + λ a 2 t 3

E novamente, continua valendo a 1 = a 0 e a 3 = a 2 , logo W é fechado para o produto por escalar.

Com isso, chegamos à conclusão de que W é um subespaço vetorial de P 3 .

Passo 2

b Bom, vamos pegar essas condições e deixar elas melhores de se trabalhar:

a 1 - a 0 = - 1 ⇒ a 0 = a 1 + 1

a 3 - a 2 = 1 ⇒ a 3 = a 2 + 1

Substituindo no polinômio geral p t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 , temos:

p t = a 1 + 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 + 1 t 3

p t = ( 1 + t 3 ) + a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3

Logo,

A = 1 + t 3 + a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3 a 1 , a 2 ∈ R

Po e o que é a 1 + a 1 t + a 2 t 2 + a 2 t 3 a 1 , a 2 ∈ R ?? É exatemente o subespaço vetorial W da letra a !! Então:

A = 1 + t 3 + W ,

provando assim que A é um subespaço afim de P 3 paralelo a W .

Resposta

a Sim.

b A é um subespaço afim de P 3 paralelo a W .

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