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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q7

Se, no espaço vetorial M 2 ( R ) , com o produto interno dado por A , B = t r ( B t A ) , S é o subespaço definido por

S = a b c d ∈ M 2 R : a - b + 3 c + d = 0   e   2 a - b + 2 d = 0

Então S ⊥ é gerado por

a - 1 0 3 1 , 0 1 - 6 0

b 0 1 - 6 0

c   1 0 - 3 1 , 0 1 - 6 0

d 1 0 - 3 1

e 1 0 - 3 1 , 1 0 - 6 0

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, para descobrirmos quem gera S ⊥ primeiro temos que achar quem gera S

Para acharmos quem gera S, vamos tomar um vetor qualquer de S e tirar essa informação:

u = a b c d   ∈ S  

Do enunciado temos:

a - b + 3 c + d = 0 2 a - b + 2 d = 0      

a - b + 3 c + d = 0 a - b 2 + d = 0                    

Subtraindo as 2, temos:

a - b + 3 c + d - a - b 2 + d = 0

a - b + 3 c + d - a + b 2 - d = 0

- b + 3 c + b 2 = 0

- b 2 + 3 c = 0   → b - 6 c = 0

Colocando na primeira equação, temos que:

a - b + 3 c + d = 0 ,     s u b s t i t u i n d o :

a + 3 c + d - 6 c = 0   → a - 3 c + d = 0   ∴ a = 3 c - d

a = 3 c - d b = 6 c                

Passo 2

Logo u = a b c d = 3 c - d 6 c c d = c 3 6 1 0 + d - 1 0 0 1

Temos, então que S = 3 6 1 0 , - 1 0 0 1

Agora vamos usar a seguinte definição:

v   ∈ S ⊥   ↔ v ⊥ 3 6 1 0   e   v ⊥ - 1 0 0 1

Vamos chamar u 1 =   3 6 1 0     e   u 2 = - 1 0 0 1

E vamos lembrar, que v ⊥ u   ↔   v , u = 0

Tomando um v   qualquer de S ⊥ :

v = α β γ δ

Usaremos que A , B = t r ( B t A )

Basta fazer t r v t u 1 = 0   e   t r v t u 2 = 0

v t =   α γ β δ

Passo 3

Agora vamos achar v t u 1 = α γ β δ   3 6 1 0 = 3 α + γ 6 α 3 β + δ 6 β

E basta achar v t u 2 = α γ β δ - 1 0 0 1 = - α γ - β δ

Além disso, o traço da matriz 2x2 é a soma dos elementos da diagonal principal, ou seja:

t r v t u 1 = 3 α + γ + 6 β = 0

t r v t u 2 = - α + δ = 0

3 α + γ + 6 β = 0 - α + δ = 0                    

γ = - 3 α - 6 β δ = α                                

Ou seja:

v = α β γ δ = α β - 3 α - 6 β α = α 1 0 - 3 1 + β 0 1 - 6 0

Logo   S ⊥ = 1 0 - 3 1 , 0 1 - 6 0    

Resposta

Letra C

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No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão