Determine se é subespaço vetorial de :
Passo 1
Para testar se é um subespaço vetorial de, precisamos aplicar o teorema.
Sabemos que o elemento nulo de é o vetor .
Aplicando na condição do conjunto da letra este vetor, temos
Como sabemos que não é igual a , chegamos a um absurdo. Logo, o elemento nulo não está contido nesse conjunto e, portanto, não é um subespaço vetorial de .
Passo 2
Vamos aplicar o teorema! De cara podemos ver que
Portanto, o pertence ao conjunto.
Passo 3
Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema.
Sendo
Como
Aplicando as condições do conjunto temos que:
Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: . Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:
Continuando:
E assim está fechado para soma.
Passo 4
Última condição do teorema:
Temos
Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:
Com isso, ao aplicarmos a hipótese , vemos que:
Assim, podemos concluir que:
E é fechado para multiplicação por escalar. Logo, é um subespaço vetorial de .
Passo 5
Na letra podemos ver também de cara que não é um subespaço vetorial!
Basta ver que como o conjunto é composto de elementos do tipo , é impossível algum elemento desse conjunto ser o vetor .
Como ele não possui o elemento nulo do , ele não é subespaço vetorial.
Resposta
- Não é subespaço vetorial.
- É subespaço vetorial.
- Não é subespaço vetorial.