A2 T5
O que NÃO É verdadeiro para subespaços de um espaço vetorial ?
Qualquer combinação linear de vetores de também é um vetor de .
Se é uma base de , então sempre conterá uma base para .
O espaço gerado por é igual a .
Passo 1
Vamos começar pelas mais fáceis! Repare que a e a dizem a mesma coisa com outras palavras! Se qualquer combinação de vetores é simplesmente o espaço gerado por eles. Então dizer que qualquer combinação linear de vetores de também é um vetor de e dizer que o espaço gerado por é igual a é a mesma coisa!
Você poderia dizer que como não podemos ter duas opções certas essas duas estão fora da jogada, mas vamos pensar um pouco. Para um subconjunto ser um subespaço ele tem que ser fechado para soma e para o produto por escalares, além de ter o elemento nulo, é claro.
Bom, o que estamos fazendo quando somamos vetores e multiplicamos eles por escalares? Estamos combinando linearmente eles! Então a e a simplesmente enunciam duas condições de subespaços vetoriais, logo são verdadeiras.
Passo 2
Essa foi dada né? Sabemos que se é subespaço de então sua dimensão está limitada pela dimensão de :
Essa tá certa.
Passo 3
Bom, só sobrou essa letra então tem que ser a errada. Na prova você marcaria ela e passaria para a próxima, mas vamos ver porque ela tá errada. Presta atenção que essa é meio traiçoeira.
A primeira vista, você poderia pensar que faz todo sentido que se é uma base de , ele também contém uma base de que é subespaço de , mas vou te provar que é falsa com um exemplo!
Imagine que é o . Nesse caso podemos definir a base como:
Concorda? Temos vetores que pertencem ao então eles formam uma base. Beleza, agora vamos dizer que é o plano ! Que também pode ser representado por .
Para gerar um plano, precisamos de dois vetores desse plano, ou seja, dois vetores com a coordenada . No entanto na nossa base não temos dois vetores com ! Isso quer dizer que não existe uma base de em !!
De fato, podemos gerar facilmente uma base para combinando os vetores de , mas não é isso que essa alternativa afirma! Então ela é falsa.
Resposta
Letra