Considere o espaço vetorial das matrizes de duas linhas e duas colunas e dois subconjuntos:
(a) Mostre que U não é subespaço vetorial de
(b) Mostre que V é subespaço vetorial de .
Passo 1
Vamos lembrar que pra ser subespaço vetorial, um subconjunto W deve obedecer a 3 regrinhas:
- W é fechado para a soma:
- W é fechado para a multiplicação por escalar:
Passo 2
(a) O elemento neutro das matrizes pertence a U, pois:
Tem determinante igual a 0.
Vamos testar agora a soma de dois elementos de U.
As matrizes:
E
São elementos de U, pois são e tem determinante igual a 0.
Mas se fizermos a soma das duas, vamos ter a matriz:
Que não pertence a U, pois .
Então, U não é fechado para a soma e não é subespaço vetorial de .
Passo 3
(b) Agora vamos ter que mostrar que os 3 pontinhos que mencionei no passo 1 são verdade.
Pra começar o elemento neutro das matrizes pertence a V, pois:
Tem
Agora vamos pegar dois elementos genéricos de V:
Somando os dois:
Temos que:
Então, a soma de elementos de V também pertence a V!
Agora vamos testar a multiplicação por escalar na matriz A que definimos antes.
Multiplicando-a por :
Ainda continuamos tendo:
Então, a multiplicação de um elemento de V por um escalar também pertence a V!
O subconjunto V é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar, além de possuir o elemento neutro.
Logo, ele é subespaço vetorial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)