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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

USP, 2018, PSUB, Q3

No espaço vetorial E das funções contínuas em [ 0,1 ] , seja

S 1 = f ∈ E   : f 2 = f 5 + 1

S 2 = f ∈ E   : f - 3 + f 4 = 0

S 3 = f ∈ E   : f 2 = f - 2 + f ( 1 )

Então são subespaços vetoriais de E:

a )   S 1 , S 2   e   S 3

b )   S 2   e   S 3   s o m e n t e

c )   S 3   s o m e n t e

d )   S 1   e   S 2   s o m e n t e

e )   S 2   s o m e n t e

Passo 1

Falaaaa, blz?? Para começar vamos analisar o que é necessário para ser subespaço vetorial:

Para um subconjunto não vazio V de um espaço E ser subespaço vetorial de E, precisamos que:

i .   O   e l e m e n t o   n e u t r o   d e   E   e s t á   e m   V

i i .   ∀   u , v   ∈ V   , t e m o s   q u e   u + v   ∈ V

i i i .   ∀   u ∈ V   e   α ∈ R ,   t e m o s   q u e   α u ∈ V

Basicamente teremos que checar essas 3 propriedades para todos S 1 ,   S 2   e   S 3 .

Passo 2

Começaremos por S 1 :

S 1 = f ∈ E   : f 2 = f 5 + 1

Primeiro vamos lembrar que o elemento neutro do espaço das funções é a função constante igual a zero, ou seja:

f x = 0  

Bom, essa função identicamente nula não está em S 1 , pois ela não respeita que:

f 2 = f 5 + 1 ,   p o i s   f 2 = f 5 = 0 ,   t e r i a m o s   q u e   0 = 1

Logo S 1 não é subespaço.

Passo 3

Bora agora checar S 2 :

S 2 = f ∈ E   : f - 3 + f 4 = 0

Nesse caso, agora, temos que a função identicamente nula pertence a S 2 , pois:

f - 3 = f 4 = 0 → f - 3 + f 4 = 0 ∴ f ∈ S 2

Agora vamos analisar a segunda condição:

Tomaremos f ,   g   ∈ S 2 e queremos saber se a soma está em S 2

f + g   ∈ S 2 ?

Se sim, deveríamos ter que:

f - 3 + g - 3 + f 4 + g - 4 = 0

Porém isso é verdade, pois : f - 3 + f 4 = 0     e   : g - 3 + g 4 = 0

Agora queremos ver o produto por escalar está em S 2 :

Tomando f   ∈ S 2 :

α f ∈ S 2 ?

Para isso ocorrer, precisaríamos que:

α f - 3 + α f 4 = 0 → α f - 3 + f 4 = α 0 = 0

Logo α f = 0

Passo 4

Bora analisar a última...

S 3 = f ∈ E   : f 2 = f - 2 + f ( 1 )

O elemento neutro f de E está em S 3 , pois:

f 2 = f - 2 = f 1 = 0 ∴ f 2 = f - 2 + f ( 1 )

Agora bora tomar f , g ∈ S 2 e checar f + g  

Porém, veja que:

f 2 + g 2 = f - 2 + g - 2 + f 1 + g 1 ,   p e l a   h i p ó t e s e   d e   f , g ∈ S 2

Logo, a segunda condição foi feita.

Bora para última:

α f ∈ S 3 ?

Para que isso ocorra, teríamos que:

α f 2 = α f - 2 + α f 1 → α f 2 = α f - 2 + f 1 que é verdade pela hipótese de f ∈ S 3

Resposta

Letra B

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão