USP, Sem Campus, Álgebra Linear 1, PSUB - 2017, Questão 16
Considere o subespaço vetorial de definido por
e seja uma base de . Pode-se afirmar que:
a) tem três elementos e é uma base de ;
b) tem três elementos e é uma base de ;
c) tem dois elementos e é uma base de ;
d) tem dois elementos e é uma base de ;
e) tem dois elementos e é uma base de ;
Passo 1
Fala aí gente, tudo tranquilo?
Nessa questão temos um subespaço vetorial das matrizes . O enunciado nos fala que ele pode ser gerado por:
Assim, existe uma de . Isso é um indício que dentre os vetores acima, temos um conjunto LD.
A partir disso, a questão faz algumas perguntas acerca da base de e sobre a base de .
Para resolvê-la precisamos descobrir quais matrizes de são geradas pela combinação linear de outras. Assim, devemos fazer:
Se a única solução for é porque é LI.
Vamos verificar!
Passo 2
Fazendo:
Temos:
Montando o sistema, temos:
Da e última equação, temos:
Substituindo na segunda e na terceira equações, vem:
E:
Caímos em duas equações equivalentes, daí podemos ainda escrever
E, voltando em :
Como conseguimos escrever e em função de e , vemos que apenas:
São Linearmente independentes.
Logo, a base de tem dois elementos.
Passo 3
Analisando as alternativas, vemos que agora precisamos determinar uma base para
Começando pela alternativa c), precisamos verificar se:
é uma base para . Para isso, vamos verificar se esses vetores são :
Da primeira equação:
Substituindo esse resultado na segunda equação:
Substituindo tudo na última equação, vem:
Substituindo na terceira equação:
Logo, o conjunto é LI. Será que terminou então? Nãoo! Precisamos verificar se esse conjunto é capaz de gerar qualquer matriz . Para isso, podemos verificar se ele gera uma base conhecida de . No nosso caso, a base conhecida é:
Para , temos:
Daí:
Substituindo a primeira na última, temos
Substituindo o resultado na segunda, temos:
Logo:
Portanto, esse elemento da base conhecida pode ser gerado.
Para
Temos o sistema:
Substituindo a primeira na última, vem:
Substituindo esse resultado junto com a primeira equação na segunda equação, temos:
Assim:
Portanto, também tem solução.
Para:
Nesse caso a solução é bem simples, já que essa matriz faz parte da base que estamos testando se realmente gera todo o subespaço das matrizes . Valendo a solução:
Por fim, para :
Daí, novamente substituindo a primeira na última equação, vem:
Logo, indo para a segunda equação:
Assim:
Portanto, como o conjunto:
É linearmente independente e consegue gerar todo o , esse conjunto de fato é uma base para .
O que nos dá letra c) como resposta.
É isso gente, finalizamos mais uma!
Obrigado pela atenção 😊
Resposta
Letra c).