UFPE – Álgebra Linear – 2020.1 – 1° exercício escolar – 1
QI-40%) Verifique se o conjunto é um espaço vetorial com as operações de adição e a multiplicação por um escalar assim definidas:
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos verificar as condições de um espaço vetorial.
As condições necessárias são:
Associatividade da adição
Comutatividade da adição
Elemento identidade da adição
Elemento inverso da adição
Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação do corpo
Elemento identidade da multiplicação por escalar
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores
Distributividade da multiplicação por escalar em relação a adição do corpo
Passo 2
Precisamos testar todas estas condições para atestar que o conjunto V realmente seja um espaço vetorial, vamos relembrar as definições de soma e multiplicação por escalar neste suposto conjunto vetorial:
E a multiplicação por um escalar :
Passo 3
Vamos começar pelos que normalmente dão mais “problema”, pois caso um esteja errado já podemos parar de verificar as propriedades:
Comutatividade da adição :
Podemos dizer que ?
Bem para o x temos que:
E como a ordem da soma não altera o resultado essa igualdade é verdadeira
E no caso:
Vamos pensar em números, caso e , assim teríamos que:
Assim concluímos que o conjunto V não é um espaço vetorial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)