Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(b) W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ∈ P 2 R   a 0 a 1 = 0 }   é subespaço de P 2 R com as operações usuais.

Passo 1

Primeiro temos que o conjunto W contém o polinômio nulo (polinômio com todos os coeficientes iguais a 0), pois:

0 + 0 x + 0 x 2

Tem a 0 = a 1 = 0 e a 0 a 1 = 0 x 0 = 0 .

Para ser subespaço vetorial, além de ter o polinômio nulo, W deve ser fechado para a soma e multiplicação por escalar.

Isso significa que a soma de elementos de W resulta em outro elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar resulta também em um elemento de W.

Vamos começar testando a soma de dois elementos de W.

Passo 2

Vamos pegar os polinômios de W:

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ,   a 0 a 1 = 0

q x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 ,   b 0 b 1 = 0

Somando os dois, vamos ter:

p x + q x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + b 0 + b 1 x + b 2 x 2

p x + q x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 x 2

r x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2

Com:

c 0 = a 0 + b 0

c 1 = a 1 + b 1

c 2 = a 2 + b 2

Note que não necessariamente temos c 0 c 1 = 0 , pois:

c 0 c 1 = a 0 + b 0 a 1 + b 1 = a 0 a 1 + a 0 b 1 + b 0 a 1 + b 0 b 1

E podemos ter

a 0 = 0 ,   a 1 ≠ 0

b 0 ≠ 0 , b 1 = 0

Então, o conjunto W não é fechado para a soma. Por isso, ele não é subespaço vetorial.

Resposta

Falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão