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Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Mostre que o conjunto abaixo é subespaço vetorial de P 2 , com as operações usuais de P 2 :

S = a + b x + c x 2 ∈ P 2 a + 3 b - 2 c = 0 }

Passo 1

Vamos testar o teorema!

  • 0 ∈ S ?
  • p 1 ( x ) , p 2 ( x ) ∈ S ⇒ ( p 1 + p 2 ) ( x ) ∈ S   ?
  • λ ∈ R ,   p ( x ) ∈ S ⇒ ( λ p ) ( x ) ∈ S ?

Passo 2

Será que o polinômio nulo, 0 + 0 x + 0 x 2 , satisfaz as condições de S ?

0 + 3 ∙ 0 - 2 ∙ 0 = 0

0 = 0

Portanto, sim, satisfaz.

Passo 3

Sendo p 1 + p 2 x = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2 , será que satisfaz as condições de S ? Vamos ver:

a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 - 2 c 1 + c 2 = 0

a 1 + a 2 + 3 b 1 + 3 b 2 - 2 c 1 - 2 c 2 = 0

Reagrupando:

a 1 + 3 b 1 - 2 c 1 + a 2 + 3 b 2 - 2 c 2 = 0

Repare que a 1 ,   b 1 ,   c 1 são exatamente os coeficientes de p 1 ( x ) . Assim como a 2 , b 2 , c 2 são os de p 2 ( x ) .

POR HIPÓTESE, ambos pertencem ao conjunto. Sendo assim, seus coeficientes satisfazem à relação do conjunto, que é a 1 + 3 b 1 - 2 c 1 = 0 e a 2 + 3 b 2 - 2 c 2 = 0 . Logo, voltando para a última equação e aplicando as hipóteses temos:

a 1 + 3 b 1 - 2 c 1 + a 2 + 3 b 2 - 2 c 2 = 0

0 + 0 = 0

Passo 4

Agora só falta a multiplicação por escalar! Sabendo que λ p x = λ a + λ b x + λ c x 2 , vamos aplicar a condição do conjunto:

λ a + 3 λ b - 2 λ c = 0 ⇒

λ a + 3 b - 2 c = 0

Já que a ,   b ,   c   são exatamente os coeficientes de p ( x ) , e p x ∈ S , seus coeficientes satisfazem o conjunto e, portanto, a + 3 b - 2 c = 0 . Logo:

λ ∙ 0 = 0

0 = 0

Concluímos que, de fato, S é subespaço vetorial de P 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão