Exercícios Resolvidos de Subespaços Vetoriais

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Enunciado

Considere o subconjunto de definido por:

é um subespaço vetorial de ?

Passo 1

Perceba que o conjunto em questão possui como elemento matrizes . Logo, são esses elementos que temos que testar, para ver se é ou não subespaço vetorial.

Passo 2

Podemos ver que a matriz nula, satisfaz as condições do conjunto. Pois

Logo, a resposta é sim.

Passo 3

Tudo bem então vamos verificar se a soma satisfaz as condições do problema.

Agora, aplicamos a hipótese: , que significa que ambas as matrizes satisfazem a condição do conjunto:

Substituindo em :

Os dois lados da equação são iguais. Logo, está fechado para soma.

Passo 4

Temos que:

Ao aplicarmos nossa hipótese, temos que:

E, assim, vemos que para qualquer real:

Logo está fechado para a multiplicação por escalar, concluindo que é um subespaço vetorial de .

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de

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No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }

b. {B in M_n n| A B != B A } .

1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .

Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão