Considere o subconjunto de M 2 × 2 definido por:

Z = A ∈ M 2 × 2 A ∙ 1 - 2 = 0 0 }

Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ?

Passo 1

Perceba que o conjunto em questão possui como elemento matrizes 2 × 2 . Logo, são esses elementos que temos que testar, para ver se é ou não subespaço vetorial.

Passo 2

0 ∈ Z ?

Podemos ver que a matriz nula, A = 0 0 0 0 satisfaz as condições do conjunto. Pois

A ∙ 1 - 2 = 0 0

Logo, a resposta é sim.

Passo 3

A 1 , A 2 ∈ Z ⇒ A 1 + A 2 ∈ Z ?

Tudo bem então vamos verificar se a soma satisfaz as condições do problema.

A 1 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0 ⇒ A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0   1

Agora, aplicamos a hipótese: A 1 , A 2 ∈ Z , que significa que ambas as matrizes satisfazem a condição do conjunto:

A 1 ∙ 1 - 2 = 0 0

A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

Substituindo em 1 :

A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

0 0 + 0 0 = 0 0

Os dois lados da equação são iguais. Logo, está fechado para soma.

Passo 4

λ ∈ R ,   A ∈ M 2 × 2 ⇒ λ A ∈ M 2 × 2 ?

Temos que:

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

Ao aplicarmos nossa hipótese, temos que:

A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ ∙ 0 0 = 0 0

E, assim, vemos que para qualquer λ real:

0 0 = 0 0

Logo está fechado para a multiplicação por escalar, concluindo que Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Resposta

Sim, Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2

Exercícios de Livros Relacionados

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. S = { x , y ,y = - x }
b. {B in M_n n| A B != B A } .
1.2.4. Seja A uma matriz n × n fixada. Determine se os conjuntos dados são ou não espaços vetoriais.a. B ∈ M n nA B = B A } .
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão