Um bloco de massa inicialmente em repouso e a uma altura desliza para baixo sobre a superfície de um plano inclinado que faz um ângulo com a horizontal. O plano inclinado permanece em repouso enquanto o bloco desliza sobre ele. Depois de ter chegado à base do plano o bloco continua a deslizar por uma distância ao longo de uma superfície horizontal até entrar em repouso. O coeficiente de atrito cinético é o mesmo entre o bloco e ambas as superfícies. Utilize obrigatoriamente a Lei de Conservação de Energia.

Dados:

a) Determine o valor da energia potencial que o bloco possui assim que ele chega à superfície horizontal.

b) Determine o valor da energia cinética que o bloco possui assim que ele chega à superfície horizontal.

c) Determine a distância percorrida pelo bloco ao longo da superfície horizontal até ele entrar em repouso.

Na letra (b), queremos a energia cinética do bloco assim que ele atinge o solo.

Uma boa maneira de encontrar a energia cinética é relacionando ela com o trabalho das forças sobre o corpo (Teorema Trabalho-Energia Cinética):

Esse teorema, parte da conservação da energia (exigida no enunciado). Porém, não significa que a energia do bloco se conserva, pois há uma força de atrito.

Entretanto, a energia do sistema total se conserva, ou seja, a energia perdida pelo bloco é a energia ganha pelo meio.

Eu sei, fica um pouco abstrato, mas dá uma olhada como vamos utilizar esse teorema.

Esse teorema diz que o trabalho resultante sobre o corpo (todas as forças) é igual a variação de energia cinética.

Como o corpo parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula:

Beleza, mas quem é o trabalho resultante sobre o corpo?

É o trabalho de todas as forças sobre ele:

Já de cara, podemos cortar o trabalho da força normal .

Isso porque essa força é sempre perpendicular ao deslocamento, logo seu trabalho é zero:

Então, ficamos com:

Vamos calcular esses dois trabalhos.

O trabalho da força peso é dado pela variação de altura do bloco:

Como o bloco está descendo, a força peso está a favor do deslocamento, e por isso, seu trabalho é positivo:

Já a força de atrito atua contra o deslocamento (mesma direção e sentido oposto), portanto seu trabalho é negativo:

Mas precisamos descobrir quem é essa força de atrito e quanto vale o deslocamento .

Vamos começar com a . A força de atrito cinético é dada por:

E essa força normal , nós podemos encontrar fazendo o equilíbrio de forças na direção perpendicular à rampa:

Então, a força de atrito é:

Mas e o deslocamento ?

Bom, sabemos a inclinação da rampa e a altura vertical que o bloco desceu, então, conseguimos calcular a distância na direção da rampa:

Assim, juntando as expressões de e , temos que o trabalho da força de atrito é:

Beleza, agora que já temos o trabalho da força peso e de atrito, podemos voltar por teorema:

Colocando em evidência, temos:

Substituindo os valores:

Então, a energia cinética no instante em que o bloco chega ao chão é aproximadamente:

Na letra (c), queremos saber a distância percorrida até que o bloco pare.

Novamente, vamos utilizar o teorema:

Mas agora, vamos considerar o instante inicial a partir do momento que o bloco atinge o chão, pois já calculamos esse valor no item (b):

E o instante final, sendo o instante onde o bloco volta ao repouso, ou seja, sua energia cinetica é nula:

E o trabalho resultante sobre o bloco será o trabalho das forças peso, normal e de atrito:

Como tanto a força peso , quanto a força normal não realizam trabalho, resta apenas o trabalho da força de atrito:

O trabalho da força de atrito ainda é dado pela expressão:

Entretando, o módulo da força de atrito se alterou, já que a força normal também se alterou:

Como há um equilíbrio na vertical, temos que:

Então:

Substituindo na expressão do trabalho, temos:

Agora, podemos voltar ao teorema:

Cortando e o sinal negativo, temos:

Essa é a distância que o bloco leva até parar.