Um bloco A de massa m A está conectado a um bloco B de massa m B e a uma mola ideal de constante elástica k . A corda e a roldana são também ideais. O bloco A está sobre uma superfície horizontal e o bloco B está sobre um plano inclinado que faz com a horizontal um ângulo   θ , e ambas as superfícies oferecem aos blocos atrito de mesmo coeficiente cinético   μ . Inicialmente os blocos estão em repouso e a mola está relaxada. Devido às forças em jogo, o sistema sai do repouso e vai se deslocar uma distância d até parar momentaneamente. Determine, em termos dos parâmetros pertinentes:

(a) o trabalho W e l da força elástica realizado pela mola sobre o sistema dos blocos nesse deslocamento;

(b) o trabalho W g realizado pela força gravitacional sobre o sistema;

(c) os trabalhos W a t e W n o r m a l realizados pelas forças de atrito e pelas forças normais sobre o sistema.

Considere agora os seguintes valores: m A = 4,00   k g , m B = 10,0   k g ,   d = 25,0   c m , μ = 0,200 ,   θ = 45,0 ° e g = 10,0   m / s ² .

(d) Determine o valor de k .

Passo 1

(a) o trabalho W e l da força elástica realizado pela mola sobre o sistema dos blocos nesse deslocamento;

A força elástica é uma força conservativa. Então o trabalho associado a ela é

W e l = - Δ U

W e l = U e l i - U e l f

No inicio a mola estava relaxada. E na situação final ela se alongou por um comprimento d .

W e l = 0 - k x 2 2

W e l = - k d 2 2

Prontinho!

Passo 2

(b) o trabalho W g realizado pela força gravitacional sobre o sistema;

Como queremos o trabalho da força peso no sistema temos que analisar tanto o corpo A quanto o corpo B.

O peso também é uma força conservativa, então o seu trabalho só depende das posições inicial e final.

W P = - Δ U

Como no corpo A não há variação de altura temos que

W P A = U i - U f

W P A = m A g ( h i - h f )

W P A = 0

Já para o corpo, temos variação de altura. Podemos calcular o trabalho da força peso de duas formas diferentes, uma é igual ao que fizemos acima, mas também podemos usar a definição de trabalho. Como já fizemos usando a variação da energia potencial gravitacional, vamos usar agora a definição. Então:

W P B = P B → ⋅ d →

W P B = P B d cos ⁡ α

Note que o ângulo entre os vetores força peso e deslocamento é α = 90 ° - θ

W P B = P B d cos ⁡ 90 ° - θ

Só que cos ⁡ 90 ° - θ = sen ⁡ θ . Então

W P B = P B d sen ⁡ θ

W P B = m B g d sen ⁡ θ

Note que d sen ⁡ θ nada mais é do que a variação de altura, ou seja, tanto faz usar a definição de trabalho ou que ele é menos a variação de U , para forças conservativas. Você escolhe!

Passo 3

(c) os trabalhos W a t e W n o r m a l realizados pelas forças de atrito e pelas forças normais sobre o sistema.

Primeiro vamos ver a normal.

Bom, em ambos os corpos, o trabalho da normal vai ser zero, porque a força normal é perpendicular ao deslocamento durante todo o percurso.

W N A = 0 = W N B

E o trabalho das forças de atrito... Primeiro para o corpo A:

W f a t A = f a t → ⋅ d →

W f a t A = f a t d cos ⁡ α

O deslocamento está horizontalmente para a direita, já a f a t está horizontalmente para esquerda, pois ela é contra o movimento. Com isso, o ângulo entre eles é α = 180 ° .

W f a t A = f a t d cos ⁡ 180 °

W f a t A = ( μ N A ) d ( - 1 )

Eita... quem é a normal em A? Pensa aqui comigo. O corpo A não se move pra cima e pra baixo. Nessa direção vertical, as únicas forças que atuam são o peso e a normal, e como não a movimento nessa direção, a resultante é zero, e, portanto N A = P A = m A g

W f a t A = - μ m A g d

Beleza.

Vamos para o corpo B.

O ângulo entre a normal e o deslocamento continua zero, então o trabalho dela também será.

W N B = 0  

E a força de atrito é oposta ao sentido do deslocamento. Então

W f a t B = f a t → ⋅ d →

W f a t B = f a t d cos ⁡ α

W f a t B = μ N B d ( - 1 )

Agora que vem um detalhe diferente do A. Não podemos dizer que o peso é igual ao normal. Na verdade, N = P B cos ⁡ θ . Que é a componente do peso na mesma direção da normal.

W f a t B = μ P B cos ⁡ θ d ( - 1 )

W f a t B = - μ m B g cos ⁡ θ d

Passo 4

Considere agora os seguintes valores: m A = 4,00   k g , m B = 10,0   k g ,   d = 25,0   c m , μ = 0,200 ,   θ = 45,0 ° e g = 10,0   m / s ² .

(d) Determine o valor de k .

Vou colocar a imagem do enunciado aqui de novo para gente lembrar.

Vamos lá. O sistema sai do repouso e anda uma distância d em uma superfície com atrito e depois ele para novamente. Ou seja, a variação da energia cinética foi zero. Mas durante esse percurso de d houve dissipação de energia, por causa da força de atrito atuando.

Usando o teorema trabalho energia podemos relacionar todos esses trabalhos que já calculamos nos itens anteriores, pois calculamos o trabalho de toas as forças no sistema, e é justamente sobre isso que o teorema trabalho energia cinética trata.

Δ K = W T O T A L

0 = W e l + W P B + W N A + W N B + W f a t A + W f a t B

Substituindo tudo:

0 = - k d 2 2 + m B g d sen ⁡ θ + 0 + 0 - μ m A g d - μ m B g cos ⁡ θ d

Pelos valores dados, encontramos que

0 = - k 0,25 2 2 + 10 ( 10 ) ( 0,25 ) sen ⁡ 45 ° + 0 + 0 - 0,2 ( 4 ) ( 10 ) ( 0,25 ) - 0,2 10 10 cos ⁡ 45 ° ( 0,25 )

k = 389 N / m

Resposta

a) W e l = - k d 2 2

b) W P B = m B g d sen ⁡ θ

c) W N A = 0

W f a t A = - μ m A g d

W N B = 0

W f a t B = - μ m B g cos ⁡ θ d

d) k = 389 N / m

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