Um bloco de massa m é solto do repouso de uma altura d (posição A) na pista ilustrada na figura abaixo. A pista é sem atrito, a menos do trecho BC de comprimento 3 d / 4 . O bloco chega à mola de constante elástica desconhecida e a comprime de uma distância d / 4 até chegar a um repouso momentâneo. As respostas devem ser dadas em função das variáveis do problema ( m e d ) e da aceleração da gravidade g . Explicite em todos os itens os teoremas utilizados.

a) Determine a energia cinética com que o bloco chega à posição B e o trabalho realizado pela força da gravidade da posição A até a posição B.

b) Sabendo que o bloco chega à posição C com metade da velocidade com que ele chegou em B calcule trabalho realizado pelo atrito e o coeficiente de atrito cinético do trecho BC.

c) Determine o trabalho realizado pela mola desde quando ela estiver relaxada até quando estiver totalmente comprimida. Determine a constante elástica da mola.

d) O bloco agora retorna empurrado pela mola. Determine a altura máxima h que ele alcança.

Passo 1

a)

A letra a) é uma simples aplicação da conservação da energia mecânica!

No trajeto de A a B, não há atrito então a energia mecânica do bloco em A, logo antes dele ser solto, é igual à sua energia mecânica chegando em B.

Nesse trecho não há nenhum mola atuando (o bloco não tem energia potencial elástica), então a energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial gravitacional:

E m = K + U g

Passo 2

Na posição A, o bloco:

  • está no repouso, então sua energia cinética é nula: K A = 0 .
  • está a uma altura d , então sua energia potencial gravitacional é U g A = m g d .

Na posição B, o bloco está no nível do chão, portanto sua energia potencial gravitacional é nula: U g B = 0 . E queremos achar sua energia cinética K B !

Passo 3

Aplicando a conservação da energia mecânica:

E m A = E m B

⇒ K A + U g A = K B + U g B

⇒ 0 + m g d = K B + 0

⇒ K B = m g d

Passo 4

Beleza, mas ainda falta achar trabalho realizado pela força da gravidade no trecho AB.

Mas isso também vai ser tranquilo: basta aplicar a regra do trabalho da força peso!

O bloco desceu uma altura d , então o trabalho é:

W g = m g d

Passo 5

b)

As únicas forças atuando no bloco no trecho BC são o peso, a normal e a força de atrito. As duas primeiras não realizam trabalho sobre o bloco por serem ortogonais ao sentido de deslocamento. Então o trabalho total realizado sobre o bloco nesse trecho é o trabalho da força de atrito!

W t o t = W a t

E pelo teorema trabalho-energia cinética, o trabalho total é igual à diferença de energia cinética:

W t o t = Δ K = K C - K B

Portanto,

W a t = K C - K B

Passo 6

K B a gente já sabe que vale m g d , mas ainda falta achar K C . Agora que vamos usar a informação que ele deu: “o bloco chega à posição C com metade da velocidade com que ele chegou em B”. Não precisamos nem calcular essas velocidades, o que nos importa são as energias cinéticas! K B e K C são dadas por

K B = 1 2 m v B 2

K C = 1 2 m v C 2

Substituindo v C = v B 2 :

K C = 1 2 m v B 2 2

⇒ K C = 1 2 ∙ 1 4 m v B 2 = 1 4 K B

Passo 7

Voltando a o que a gente tinha antes:

W a t = K C - K B = 1 4 K B - K B = - 3 4 K B

E como K B = m g d :

W a t = - 3 4 m g d

Passo 8

Ainda falta achar o coeficiente de atrito cinético. Podemos aproveitar o fato de já termos achado o trabalho da força de atrito!

Lembrando que a força de atrito é dada por

F a t = μ c N ,

μ c sendo o coeficiente de atrito cinético e N o módulo da força normal.

Passo 9

O trecho BC tem comprimento 3 4 d , então essa é a distância que temos que considerar pra calcular o trabalho! E como a força de atrito é contrária ao sentido do movimento, o trabalho que ela realiza é negativo. Então temos

W a t = - F a t   ⋅ d e s l o c a m e n t o

⇒ W a t = - μ c N 3 4 d

Como N = m g , isso dá:

W a t = - 3 4 μ c m g d

E antes achamos

W a t = - 3 4 m g d

Comparando as duas expressões, concluímos que

μ c = 1

Passo 10

c)

Agora queremos o trabalho realizado pela mola enquanto ela á comprimida.

Não adianta nada calcular o trabalho em função de k já que não sabemos o valor de k ; essa vai ser a segunda etapa da questão!

Então podemos proceder que nem na letra b), achando o trabalho a partir do teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = Δ K

E agora que não tem mais atrito, a única força realizando trabalho sobre o bloco é a força elástica da mola! Ou seja:

W t o t = W m o l a

⇒ W m o l a = Δ K = K f - K i ,

K f sendo a energia cinética final do bloco e K i a energia cinética com qual ele chega pra comprimir a mola.

Passo 11

Repare que K f = 0 , porque depois de comprimir a mola o bloco para!

Ou seja,

W m o l a = - K i

Então só resta determinar com que energia cinética o bloco chega na mola!

Passo 12

Analisando friamente a situação, podemos ver que do ponto C até a mola não tem nada (atrito, mola, etc.)! As únicas forças atuando são o peso e a normal, se cancelando no eixo y , mas não há nenhuma no eixo x ! Então nesse trecho, o bloco está seguindo um MRU, ele tem velocidade constante.

Assumindo que o bloco não emagreceu do ponto C até a mola, a sua energia cinética ficou constante, pois ela só depende da massa e da velocidade do bloco! :)

Isso tudo pra dizer que K i = K C . Ou seja,

W m o l a = - K C

⇒ W m o l a = - 1 4 m g d

Passo 13

Excelente! Então agora se a gente calcular o trabalho da mola pela forma convencional e comparar com o que acabamos de achar, vai dar pra achar k !

O próprio enunciado dá a fórmula:

W m o l a = 1 2 k x i 2 - 1 2 k x f 2 ,

x i sendo o deslocamento inicial do bloco e x f seu deslocamento final quando ele atingir o repouso.

A gente sabe que o bloco comprime a mola de uma distância de d 4 : isso significa que x f - x i = d 4 . Assim, fixando o zero de deslocamento no começo da mola, temos x i = 0 e x f = d 4 , dessa forma:

Passo 14

Então o trabalho realizado pela mola é:

W m o l a = 1 2 k ⋅ 0 - 1 2 k d 4 2

⇒ W m o l a = - 1 2 k d 2 16

⇒ W m o l a = - 1 32 k d 2

Passo 15

E antes a gente achou:

W m o l a = - 1 4 m g d

Logo,

- 1 32 k d 2 = - 1 4 m g d

⇒ 1 32 k d = 1 4 m g

⇒ k d = 32 4 m g = 8 m g

⇒ k = 8 m g d

Show! :D

Passo 16

d)

Depois de ser comprimida pelo bloco, a mola empurra ele no outro sentido, realizando trabalho de novo. E esse trabalho é exatamente o mesmo da ida, só que com o sinal trocado! Pois é, não tem atrito, então tudo que a mola recebe ela devolve!

Se isso não te convenceu, dá uma olhada! Vamos considerar o trajeto do bloco desde o ponto em que ele começa a ser empurrado de volta pela mola até o ponto C.

Pelo teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = Δ K

Ou seja,

W m o l a = Δ K

Como o bloco parte do repouso, sua velocidade inicial é nula, então Δ K = K C . Logo,

W m o l a = K C = 1 4 m g d

O trabalho é positivo porque a mola faz força no mesmo sentido do deslocamento!

Passo 17

O principal é que o bloco chega no ponto C com uma energia cinética K C = 1 4 m g d , e ele ainda tem o trecho BC (que é onde tem atrito) pela frente.

Vamos tentar achar com que energia cinética K B o bloco chega no ponto B. A única força que realiza trabalho sobre o bloco é a força de atrito, então de novo temos

W t o t = W a t

E pelo teorema trabalho-energia cinética (sério, a gente já usou ele tantas vezes nessa questão que eu te proíbo de esquecer ele na hora da prova haha):

W t o t = Δ K

Ou seja,

W a t = Δ K = K B - K c

Passo 18

Sendo que lá atrás, nós já vimos que

  W a t = - 3 4 m g d

A força de atrito é constante, é algo inerente ao solo, então o bloco pode atravessar o trecho quantas vezes quiser que o trabalho realizado vai ser sempre esse!

Enfim, isso vai dar

W a t = K B - K c

⇒   - 3 4 m g d = K B - 1 4 m g d

⇒ K B = - 1 2 m g d < 0

Opa! A energia cinética não pode dar negativo! Então deu ruim? Não! Isso simplesmente significa que o bloco não tem energia suficiente pra atravessar o trecho com atrito, pois W a t > K C .

Então o bloco vai parar ali na meiúca mesmo. Até daria pra calcular o quanto o bloco anda no trecho BC até parar, mas aqui só pedem pra achar que altura ele vai subir. No caso, como nem no ponto B ele chega, essa altura é zero!

h = 0

Resposta

a)

K B = m g d

W g = m g d

b)

W a t = - 3 4 m g d

μ c = 1

c)

W m o l a = - 1 4 m g d

k = 8 m g d

d)

h = 0

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