Um grande bloco de massa se movimenta horizontalmente através de uma distância total de sobre um piso com atrito a partir do repouso. Um trator empurra o bloco durante os primeiros com uma força variável, descrita pelo gráfico abaixo:

Dado: (capa da prova)

(a) Calcule o trabalho total realizado pelo trator sobre o bloco.

(b) Ao final dos 100 𝑚, o bloco chega ao repouso. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso.

(c) Ache a velocidade do bloco na posição 𝑥=80 𝑚.

Para achar o trabalho do trator sobre o bloco, podemos pensar em calcular a partir de:

Onde o é o deslocamento.

Porém, qual seria o módulo de que colocaríamos na fórmula?

Como a força varia ao longo do trajeto, teríamos que encontrar um valor médio de .

Então, é melhor usar uma outra estratégia para calcular o trabalho de uma força variável. Vamos usar a nossa queridinha (só que não) integral:

Calma, não se assuste com a integral, ela não morde. Na verdade, só um poquinho de vez em quando hahah.

A ideia da integral é calcular para cada valor de o trabalho exercido sobre o bloco em um deslocamento muito pequenininho e somar tudo isso que no final temos o trabalho total ao longo do trajeto.

Mas, fica tranquilo, como a integral têm o mesmo valor da área abaixo do gráfico, podemos simplesmente calcular essa área total que conseguimos o valor de .

Então, vamos dividir aquela área alí em um trapézio e um retângulo para facilitar:

A área total será a soma dessas duas áreas:

O e são as bases maior e menor do trapézio, é a base do retângulo, enquant (horizontal) e (vertical) são as alturas:

Então, achamos o trabalho do trator sobre o bloco:

Na letra (b) queremos, o coeficiente de atrito entre o chão e o bloco.

Mas como achamos isso?

Precisamos primeiro saber o valor da força de atrito atuando no bloco para depois achar o coeficiente de atrito :

E como achamos essa força de atrito?

Podemos tentar usar aquela informação que achamos na letra (a), afinal quase sempre as questões pedem coisas que estão relacionadas com o item anterior, né.

Você concorda comigo que se o bloco começou em repouso e terminou em repouso, nesse meio tempo, o trabalho (energia) que o trator fez sobre o bloco tem que ser o mesmo trabalho (energia) que a força de atrito “tirou” desse sistema?

Essa é a ideia daquele teorema trabalho-energia cinética:

Se a variação de energia cinética foi nula entre o instante inicial e final, temos que:

Beleza, vamos partir disso agora.

Como a força de atrito está contra o deslocamento, seu trabalho será negativo, além disso a força é constante em todo o trajeto, então podemos escrever seu trabalho como:

Logo:

Quem vai ser essa força Normal ?

Como o bloco está em equilíbrio vertical, podemos dizer que a força normal vale a mesma coisa que a força peso:

Então:

Vamos substituir os valores que temos:

Achamos que o coeficiente de atrito é:

Na letra (c), queremos a velocidade do bloco na posição , ou seja, depois que a força terminou de exercer aquele trabalho que calculamos na letra (a).

Novamente, podemos aplicar o teorema trabalho-energia cinética:

Mas agora, conseguimos calcular os trabalhos das forças e queremos achar a energia cinética final, assim, encontramos a velocidade do bloco.

Como o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero:

Então, a soma dos trabalhos com será igual a:

Vamos calcular o trabalho da durante o deslocamento de à :

Jogando o valor do e de na nossa expressão, temos:

Agora, vamos descobrir a velocidade :