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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

16 . Calcule o comprimento de arco do gráfico de y = x 2 , desde o ponto ( 0,0 ) até ( 1,1 ) .

Passo 1

Aplicando a fórmula do comprimento de arco para a ≤ x ≤ b :

C = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

d y d x = 2 x

∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x

Essa integral é mega chata de se fazer, a não ser que façamos uma substituição. Chamando 2 x = t a n ⁡ ( θ ) . Agora precisamos ajustar os limites de integração, afinal você está mudando a sua variável.

x = 0 → tan ⁡ θ = 0 → θ = 0

x = 1 → tan ⁡ θ = 2 → θ = a r c t a n ⁡ ( 2 )

Voltando pra nossa integral:

∫ 0 a r c t a n ⁡ ( 2 ) 1 + tan ⁡ θ 2 d θ

Pela relação fundamental da trigonometria:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ ( θ ) = 1

Dividindo ambos os lados por cos 2 ⁡ θ :

tan 2 ⁡ θ ⁡ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Passo 2

Ficamos com:

∫ 0 a r c t a n ⁡ ( 2 ) sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 a r c t a n ⁡ ( 2 ) s e c ⁡ ( θ ) d θ

Lembrando que:

∫ 0 arctan ⁡ 2 sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 0 arctan ⁡ 2 = ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ 2 + 1 cos ⁡ arctan ⁡ 2 - ln ⁡ tan ⁡ 0 + 1 cos ⁡ 0

CARAAAAA! PARA TUDO! Estamos com um probleminha. Como descobriremos o termo cos ⁡ arctan ⁡ 2 ?

Passo 3

Pensa comigo: arctan ⁡ 2 = u e eu quero o cosseno desse u . Vamos usar algumas relações:

tan ⁡ u = 2 → s e n u cos ⁡ u = 2 → s e n u = 2 c o s ⁡ ( u )

Usando a relação trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

2 cos ⁡ u 2 + cos 2 ⁡ u = 1

5 cos 2 ⁡ ( u ) = 1 → cos ⁡ u = 1 5

ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ 2 + 1 cos ⁡ arctan ⁡ 2 - ln ⁡ tan ⁡ 0 + 1 cos ⁡ 0 = l n ⁡ ( 2 + 5 )

Resposta

∫ 0 1 1 + 2 x 2 d x = l n ⁡ ( 2 + 5 )

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Encontre a função comprimento de arco para a curva y = ln ⁡ s e n x ,0xπ , com o ponto inicial π 2 , 0 .Trace a curva e faça o gráfico de sua função comprimento de arco na mesma tela.
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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1