Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.
1. Se é derivável com derivada contínua e , para todo Então, o comprimento do gráfico de é, no mínimo,
2. Se são contínuas e então
3. Se é uma função contínua e ímpar então qualquer primitiva de é par.
4. Se é contínua então existe tal que .
Passo 1
1. Verdadeira
Para calcularmos o comprimento do arco fazemos
Observa que a questão já nos deu justamente o , que sabemos estar entre .
A questão nos diz ainda que ela tem terá no mínimo o comprimento de . Bom, vamos usar então a menor função para calcular seu valor mínimo.
Passo 2
2. Falsa
Observa que onhecemos a integral afunção seno, variando de
No então, se multiplicamos ela por um exponencial, encontramos um valor diferente de zero.
Caso você queria, para resolver essa integral fazemos a integração por artes, chamando o seno de .
Passo 3
3. Verdadeiro
Tomemos por exemplo a função . Ela é uma função ímpar. Como ao encontrar a primitiva nós sempre subimos o grau em 1 unidade, sabemos que vira automaticamnete uma função par.
Passo 4
4. Verdadeiro
To teorema do valor médio sabemos que
Sabemos ainda que caso a gente resolva aqula integral do enunciado, pelo teorema fundamental do calculo, temos
Multiplicando ambos os lados por
Isso é justamente a igualdade que tínhamos acima.
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Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)