O comprimento do gráfico de y = 2 / 3 * x^(3/2) no intervalo [0, 1] é:

Passo 1

Queremos o comprimento do arco de uma curva. Lembra da fórmula que se usa para descobrir o comprimento de arco? É essa aqui:

c = ∫ a b 1 + [ f ' x ] ² d x

Vamos começar achando a derivada da função y = 2 3 x 3 2

y ' = 2 3 . 3 2 . x 3 2 - 1 = x 1 2 = x

Passo 2

Agora vamos colocar a derivada dentro da integral cujo intervalo será de 0 a 1 .

c = ∫ 0 1 1 + [ x ] ² d x

c = ∫ 0 1 1 + x d x

Resolvendo a integral:

c = ( 1 + x ) 1 2 + 1 3 2 0 1

c = 2 3 ( 1 + x ) 3 2 0 1

c = 2 3 1 + 1 3 2 - 1 + 0 3 2

c = 2 3 2 3 2 - 1 3 2

c = 2 3 2 3 - 1

c = 2 3 2 2 - 1

Resposta

c = 2 3 2 2 - 1

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