Seja f ( x ) = ∫ a x e x 2 - t 2 2   d t . Mostre que f   ′   ( x )   −   x   f ( x )   =   1 , para todo x   ∈   R .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Sendo

f ( x ) = ∫ a x e x 2 - t 2 2   d t

Temos que mostrar que f   ′   ( x )   −   x   f ( x )   =   1 , vamos fazer isso utilizando o teorema fundamental do cálculo.

Então vamos lá!

Passo 2

Temos pelo teorema fundamental do cálculo, que

F ( x ) = ∫ 0 x f ( t )   d t ) ,   F ' ( x ) = f ( x )

Então, reajustando a função

f ( x ) = ∫ a x e x 2 - t 2 2   d t = e x 2 2 ∫ a x e - t 2 2   d t

Tomando a derivada do produto

f ' ( x ) = d d x ( e x 2 2 ) ∫ a x e - t 2 2   d t + e x 2 2 d d x ( ∫ a x e - t 2 2   d t ) .

Utilizando o teorema fundamental do cálculo para resolver a derivada do segundo termo

f ( x 3 ) d   x 3 d x = 3   e 3 x

f ( x 3 ) 3 x 2 = 3   e 3 x

f ( x 3 ) =   e 3 x x 2

Passo 3

Utilizando o teorema fundamental do cálculo para resolver a derivada do segundo termo

f ' ( x ) = x   e x 2 2 ∫ a x e - t 2 2   d t + e x 2 2 e - x 2 2 = x   e x 2 2 ∫ a x e - t 2 2   d t + 1

Note que,

f ( x ) = e x 2 2 ∫ a x e - t 2 2   d t

Então,

f ' ( x ) = x   f ( x ) + 1

f ' ( x ) - x   f ( x ) = 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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