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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 15

Uma estrada é construída ligando o ponto ( 2,1 ) ao ponto ( 5,3 ) seguindo a trajetória da parábola

y   =   - 1   +   2 x - 1

Calcule o comprimento dessa estrada.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos calcular o tamanho de uma curva. Nessa questão a nossa curva é descrita pela parábola

y   =   - 1   +   2 x - 1

entre os pontos ( 2,1 ) e ( 5,3 ) .

Lembram qual é a fórmula de comprimento de uma curva dada pela função f ( x ) ? Vamos revisar

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

Lembraram? Boa!!! Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos calcular a derivada da nossa função f ( x ) .

d d x ( - 1   +   2 x - 1 )   =   ( x - 1 ) - 1 / 2

Então o comprimento da nossa curva fica:

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

substituindo f

=   ∫ 2 5 1   +   ( x - 1 ) - 1 d x

fazendo o mmc

  = ∫ 2 5 x x - 1 d x

Passo 3

Para podermos finalizar a questão, precisamos calcular

  ∫ 2 5 x x - 1 d x

Bem, fazendo

u   =   x x - 1   ⇒   d u   =   1 x - 1   -   x ( x - 1 ) 2 d x

  ⇒ ∫ x x - 1 d x =   - ∫ u ( 1 - u ) 2 d u

fazendo

w   =   u   ⇒   d w   =   1 2 u d u

  ⇒ - ∫ u ( 1 - u ) 2 d u   = 2 ∫ w 2 ( 1 - w 4 ) 2 d w  

Agora precisamos usar frações parciais para simplificar nossa expressão. Como nosso denominador pode ser escrito como

w 2 ( 1 - w 4 ) 2 = w 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w 2 - 1 ) 2  

=   w 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 ( w + 1 ) 2

vamos obter A , B ,   C   e   D tais que

w 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 =   A ( w + 1 ) + B ( w + 1 ) 2 + C ( w - 1 ) + D ( w - 1 ) 2 + E ( w 2 + 1 ) 2

Passo 4

Então, vamos lá desenvolvendo a equação temos:

A ( w + 1 ) + B ( w + 1 ) 2 + C ( w - 1 ) + D ( w - 1 ) 2 + E ( w 2 + 1 ) 2 =

  A ( w + 1 ) ( w - 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 ( w + 1 ) 2 + B ( w - 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 ( w + 1 ) 2 + C ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) ( w 2 + 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 + D ( w + 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 + E ( w 2 - 1 ) 2 ( w 2 + 1 ) 2 ( w 2 - 1 ) 2

Abrindo os produtos chegamos a conclusão que

w 2 =   w 7 ( A + B )   +   w 6 ( - A + B + C + D ) + w 5 ( A - 2 B + C + 2 D ) + w 4 ( - A + 3 B + C + 3 W + E )

+   w 3 ( - A - 4 B - C + 4 D )   + w 2 ( A + 3 B - C + 3 D )   + w ( - A - 2 B - C + 2 D - 2 E )

+ ( A + B - C + D + E )

PEQUENA A EXPRESSÃO, NÉ?

Aqui temos uma igualdade polinomial, isto é, as constantes que multiplicam os termos w p na esquerda são iguais as da direita. Dessa forma, geramos um sistema. Resolvendo o sistema descobrimos que

A = B = D   = 1 / 16  

C   =   - 1 / 16

E   =   - 1 / 4

Então nossa equação fica:

w 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 =   A ( w + 1 ) + B ( w + 1 ) 2 + C ( w - 1 ) + D ( w - 1 ) 2 + E ( w 2 + 1 ) 2 =

=   1 / 16 ( w + 1 ) + 1 / 16 ( w + 1 ) 2 - 1 / 16 ( w - 1 ) + 1 / 16 ( w - 1 ) 2 - 1 / 4 ( w 2 + 1 ) 2 =

Passo 5

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ w 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 d w =   ∫ 1 / 16 ( w + 1 ) + 1 / 16 ( w + 1 ) 2 - 1 / 16 ( w - 1 ) + 1 / 16 ( w - 1 ) 2 - 1 / 4 ( w 2 + 1 ) 2 d w =

mas cada uma dessas integrais são conhecidas, então

∫ 1 / 16 ( w + 1 ) + 1 / 16 ( w + 1 ) 2 - 1 / 16 ( w - 1 ) + 1 / 16 ( w - 1 ) 2 - 1 / 4 ( w 2 + 1 ) 2 d w

= 1 16 ( l n ( w + 1 )   - 1 / ( w + 1 )   + l n ( w - 1 )   -   1 / ( w - 1 ) ) + 1 8 ( w w 2 + 1   + t g - 1 ( w ) )

retornando para a variável u . Como w = u então

= 1 16 ( l n ( w + 1 )   - 1 / ( w + 1 )   + l n ( w - 1 )   -   1 / ( w - 1 ) ) + 1 8 ( w w 2 + 1   + t g - 1 ( w ) )

simplificando temos

= 1 16 ( - 4 w 3 w 4 - 1   - l o g ( 1 - w ) + l o g ( 1 + w )   + 2 t g - 1 ( w ) )

vamos lá que já estamos acabando!!!

Passo 6

Prontinho, pessoal. Chegamos a conclusão que

∫ w 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 d w = 1 16 ( - 4 w 3 w 4 - 1   - l o g ( 1 - w ) + l o g ( 1 + w )   + 2 t g - 1 ( w ) )

Agora só precisamos computar o valor da integral para 2 ≤ x ≤ 5 . Mas temos a integral em w , então como fazemos?

Vamos lembrar que u   =   x x - 1 então como 2 ≤ x ≤ 5 temos que 2 ≤ u ≤ 5 4

Depois fizemos w   =   u ⇒ temos que 2 ≤ w ≤ 5 4

Ou seja,

∫ 2 5 x x - 1 d x =   ∫ 2 5 4 w 2 ( w + 1 ) 2 ( w - 1 ) 2 d w

= 1 16 ( - 4 w 3 w 4 - 1   - l o g ( 1 - w ) + l o g ( 1 + w )   + 2 t g - 1 ( w ) ) | w = 2 w = 5 4

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, a integral é tão complicada que não conseguimos simplificar a expressão final!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

1 16 ( - 4 w 3 w 4 - 1   - l o g ( 1 - w ) + l o g ( 1 + w )   + 2 t g - 1 ( w ) ) | w = 2 w = 5 4

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