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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 1f

Calcule o comprimento das curvas

  1.   r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com comprimento de curvas parametrizadas. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar o tamanho da curva

r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

Agora, como encontramos o comprimento de uma curva? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela? O comprimento de uma curva r ( t ) com   a   ≤   t   ≤   b , é dada por:

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

Lembraram? Show!!!

Passo 2

Queremos calcular

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

vamos começar obtendo r ' ( t )

vamos escrever a nossa r ( t ) como um vetor

r ( t ) = t   i →     +   l n ( s e c   t )   j →   +   l n ( s e c   t   +   t a n   t )   k →   c o m   0   ≤   t   ≤   π / 4

= ( t , l n ( s e c   t ) , l n ( s e c   t   +   t a n   t )   )

Calculando a derivada entrada a entrada

r ' ( t ) = ( 1 , t g   t , s e c   t   )

E com isso, temos que

| r ' ( t ) | = ( 1   + t g 2 t   + s e c 2 ) 1 / 2

mas como

1   + t g 2 t = s e c 2 t

então

| r ' ( t ) | = ( 2 s e c 2 t ) 1 / 2

= 2 s e c   t

Passo 3

Descobrimos que

| r ' ( t ) | = 2 s e c   t

Dessa forma, o comprimento da nossa curva é:

∫ a b | r ' ( t ) | d t = ∫ 0 π / 4 2 s e c   t

pois   0   ≤   t   ≤   π / 4

Então:

∫ 0 π / 4 2 s e c   t   d t = 2 2 π

Integrando a secante, obtemos:

∫ 0 π / 4 2 s e c   t   d t = - 2 l o g ( c o s ( t / 2 )   -   s i n ( t / 2 ) )   +   2 l o g ( c o s ( t / 2 )   +   s i n ( t / 2 ) ) | π / 4 t = 0  

aplicando o limite de integração:

= - 2 l o g ( c o s ( π / 8 )   -   s i n ( π / 8 ) )   +   2 l o g ( c o s ( π / 8 )   +   s i n ( π / 8 ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- 2 l o g ( c o s ( π / 8 )   -   s i n ( π / 8 ) )   +   2 l o g ( c o s ( π / 8 )   +   s i n ( π / 8 ) )

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