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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 14c

Calcule o comprimento do arco de curva sobre o intervalo

y   = 1 2 ( e x + e - x ) sobre [ 0 , l n ( 5 ) ]

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos calcular o tamanho de uma curva. Nessa questão, a nossa curva é descrita pela equação

y   = 1 2 ( e x + e - x ) sobre [ 0 , l n ( 5 ) ]

Lembram qual é a fórmula de comprimento de uma curva dada pela função f ( x ) ? Vamos revisar

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

Lembraram? Boa!!! Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos calcular a derivada da nossa função f ( x ) .

d d x (   1 2 ( e x + e - x )   )   =   1 2 ( e x - e - x )

Então o comprimento da nossa curva fica:

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

substituindo f

=   ∫ 0 l n 5 1   +   1 4 ( e x - e - x ) 2 d x

abrindo o produto notável

  = ∫ 0 l n 5 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x

Passo 3

Para podermos finalizar a questão, precisamos calcular

∫ 0 l n 5 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x

fazendo a substituição u   =   e 2 x ⇒   d u / 2 u   =   d x

∫ 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x =   ∫ 1 2 2 + u   + u - 1   d u 2 u

tirando o mmc temos:

= 1 4 ∫ 2 u   +   u 2   +   1 u   d u u

juntando o produto notável e simplificando

= 1 4 ∫ u + 1 u   d u u

separando o numerador

= 1 4 ∫ 1 u   + 1 u 3 / 2 d u

mas essas integrais são conhecidas, temos:

1 4 ∫ 1 u   + 1 u 3 / 2 d u = 1 4 ( 2 u 1 / 2   - 2 u - 1 / 2 )

= 1 2 ( u 1 / 2   - u - 1 / 2 )

Agora vamos retornar para a variável original

Passo 4

No passo anterior, chegamos a conclusão que a distância da nossa curva podia ser dada como

∫ 0 l n 5 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x

fazendo as manipulações chegamos a conclusão que

  ∫ 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x = 1 2 ( u 1 / 2   - u - 1 / 2 )

Agora só precisamos retornar para a variável x e calcular a integral para 0 ≤ x ≤ l n ( 5 ) .

Fizemos u = e 2 x . Logo

1 2 ( u 1 / 2   - u - 1 / 2 ) = 1 2 ( e x - e - x )

Com isso temos

∫ 0 l n 5 1 4 ( 2 + e 2 x + e - 2 x ) d x = 1 2 ( e x - e - x ) | x = 0 x = l n 5

= 1 2 ( 5 - 1 5 )

= 12 / 5

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu um baita trabalho, mas indo aos poucos chegamos no final!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

12 / 5

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