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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - UFPE - Integrais de Linha, Questão 1c

Calcule o comprimento das curvas

a)   r ( t ) = a ( c o s t   +   t s e n   t )   i →     +   a (   s e n   t   -   t   c o s t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2 π ,   a   >   0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 3!!! Dessa vez estaremos trabalhando com comprimento de curvas parametrizadas. Vem comigo!!!

Nosso objetivo nessa questão é encontrar o tamanho da curva

  r ( t ) = a ( c o s t   +   t s e n   t )   i →     +   a (   s e n   t   -   t   c o s t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2 π ,   a   >   0

Agora, como encontramos o comprimento de uma curva? Existe uma fórmula para isso. Lembram dela? O comprimento de uma curva r ( t ) com   a   ≤   t   ≤   b , é dada por:

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

Lembraram? Show!!!

Passo 2

Queremos calcular

∫ r ( s ) d s = ∫ a b | r ' ( t ) | d t

vamos começar obtendo r ' ( t )

vamos escrever a nossa r ( t ) como um vetor

  r ( t ) = a ( c o s t   +   t s e n   t )   i →     +   a (   s e n   t   -   t   c o s t )   j →   c o m   0   ≤   t   ≤   2 π ,   a   >   0

= ( a ( c o s t   +   t s e n   t ) , a (   s e n   t   -   t   c o s t )   )

Calculando a derivada entrada a entrada

r ' ( t ) = ( a t * c o s ( t )   ,   a t * s i n ( t ) )

E com isso, temos que

| r ' ( t ) | = ( ( ( a t * c o s ( t ) ) 2   + (   ( a t * s i n ( t ) ) 2 ) 1 / 2

= ( a 2 t 2 ) 1 / 2

= a t

Passo 3

Descobrimos que

| r ' ( t ) | = a t

Dessa forma, o comprimento da nossa curva é:

∫ a b | r ' ( t ) | d t = ∫ 0 2 π a t   d t

pois   0   ≤   t   ≤   2 π

Então:

∫ 0 2 π a t   d t = a t 2 / 2 | t = 2 π t = 0

calculando os limites de integração:

= 2 a π 2

Ou seja, o comprimento da nossa curva é 2 a π 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

2 a π 2

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