O comprimento da curva para é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Para calcular comprimento da curva a gente usa a fórmulinha:
Aí precisamos achar a derivada de:
Repara que os dois termos da soma são funções compostas, então vamos precisar usar a regra da cadeia. Vamos olhar o primeiro termo:
Aí a gente calcula a derivada da função de fora no ponto da de dentro e multiplica pela derivada da função de dentro. Nos dois casos usamos a regrinha para polinômios:
O segundo termo também é uma função composta. Do lado de fora temos a função . Essa função tem essa derivada:
Aí vamos precisar a regra da cadeia para achar:
Juntando os dois termos:
Aí nossa fórmulinha fica:
Passo 2
é o intervalo em que a nossa curva está, no nosso caso . Aí nossa integral fica:
Vamos reescrever esse integrando até achar uma expressão melhorzinha:
Aí nossa integral mais fofa fica:
Passo 3
Aí a gente resolve a integral.
Vamos usar a regrinha:
Para a gente :
Resposta
Letra c