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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo III, Profº Claudio Plínio - Lista 3 - Análise Vetorial, Questão 1i

Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

( i )   r ( t )   = t ⃗ i   + ⃗ j   +   ( t 3 6 + 1 2 t )   ⃗ k ,   1   ≤   t   ≤   3 .  

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) =   (   t ,   1 ,   ( t 3 6 + 1 2 t ) ) , 1 ≤   t   ≤   3 .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = d d t ( t ) = 1

d y d t = d d t ( 1 ) = 0

d z d t = d d t   ( t 3 6 + 1 2 t ) =   ( t 2 2 - 1 2 t 2 )

Então a integral fica

L   = ∫ 1 3 ( 1 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( t 2 2 - 1 2 t 2 ) 2 d t

Passo 3

Assim,

L   = ∫ 1 3 1 + ( t 2 2 - 1 2 t 2 ) 2 d t

temos que,

1 + ( t 2 2 - 1 2 t 2 ) 2 = 1 + t 4 4 + 1 4 t 4 - 1 2 = t 4 4 + 1 4 t 4 + 1 2

note que,

t 4 4 + 1 4 t 4 + 1 2 = ( t 2 2 + 1 2 t 2 ) 2

Voltando para a integral:

L   = ∫ 1 3 ( t 2 2 + 1 2 t 2 ) 2 d t = ∫ 1 3 ( t 2 2 + 1 2 t 2 ) d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = (   t 3 6 + 1 2 t ) | 1 3 = (   3 3 6 + 1 6 ) - (   1 6 + 1 2 ) = 1 6 ( 28 ) - 2 3 = 4 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 4 .

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