Lista de Exercícios – Semana 17 – Cálculo I -
21) As coordenadas do centro de gravidade de um arco de curva (homogêneo) são dadas por
Em que é o comprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de gravidade dos arcos abaixo:
- Arco da catenária para
Passo 1
Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse é um probleminha de comprimento de arcos usando as integrais. No fundo ele quer que a gente resolva essas três integrais aqui:
Que doideira, né? Mas calma!! Aqui a gente lembra que em comprimento de arcos, aquele ali tem uma cara conhecida. Se conseguimos escrever como função de , ele tem essa cara aqui:
Onde é a derivada da função em relação a . E aí a nossa integração vai ser em
Mas... uma última dica é que se tivermos uma curva em que podemos escrever e como função de um parâmetro (geralmente problemas que envolvem círculos 😊) o é:
Então vamos lá montar o nosso problema!
Passo 2
Vamos começar calculando . Como temos o comportamento de em função de podemos escrever o arco como:Usando os dados que o enunciado nos deu, temos:
Calculando a derivada temos:
Daí usamos a identidade
Beleza!
Passo 3
Agora vamos calcular a coordenada ! Para isso, vamos usar as coordenas e como:
Como varia de até , temos que resolver então essa integral daqui:
Opaa! Agora temos uma integral mais simples para a gente resolver. Resolvendo essa integral por partes temos:
Passo 4
Agora vamos calcular a coordenada . Da mesma maneira que temos que resolver essa integral daqui:
Arrumando um pouco essa expressão temos:
Resolvendo essa integral usando que temos:
Então a coordenada é:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??