UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de Cálculo 1 - Profº Hamilton Simões - Lista 1, Questão 5
Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.
d)
Passo 1
Falai galerinha, bora la?
A curva que estamos considerando é descrita pela equação , onde é um número positivo e varia de 0 a 7
Queremos encontrar o comprimento do segmento dessa curva que ocorre entre
Para calcular o comprimento de arco, precisamos primeiro encontrar a derivada da equação o que nos dará a velocidade da partícula ao longo da curva.
A derivada é calculada separadamente para as componentes da curva.
A derivada da componente e a derivada da componente .
Juntando essas derivadas, temos a derivada total
Agora, o comprimento de arco é encontrado integrando a magnitude dessa derivada em relação a no intervalo de
Usamos as propriedades do cosseno hiperbólico e do seno hiperbólico para simplificar a expressão e, ao final, chegamos a
Portanto, o comprimento de arco ao longo dessa curva é , onde é o parâmetro positivo da curva e é o valor máximo de dentro do intervalo dado.
Passo 2
O comprimento de arco de uma curva descrita por um vetor posição ao longo de um intervalo é dado pela integral do módulo da derivada da curva em relação a \(t\):
Onde é a derivada da função vetor em relação .
Para o seu caso, onde vamos calcular a derivada e então integrar para obter o comprimento de arco.
Primeiro, calculamos a derivada :
Passo 3
O módulo da derivada é:
Agora podemos integrar em relação a no intervalo
Portanto, o comprimento de arco ao longo da curva é onde é o limite superior do intervalo de tempo.
Resposta
Portanto, o comprimento de arco ao longo da curva é onde é o limite superior do intervalo de tempo.