Em cada item, encontre o comprimento de arco descrito por uma partícula em movimento sobre uma curva de acordo com a equação dada, durante o intervalo de tempo dado em cada caso.

h(r(t)) = a * cos(ωt) i + a * sen(ωt) j + b * ωt k, 0 ≤ t ≤ 2π, ω > 0.

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva   r ( t ) = ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) )   é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 + ( d z d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral para

r ( t ) =   (   a   c o s ( ω t ) ,     a   s e n   ( ω t ) ,   b ω t ) ,   0   ≤   t   ≤   2 π ,     ω   >   0 .

Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = d d t (   a   c o s ( ω t ) ) = - a ω   s e n   ( ω t )

d y d t = d d t ( a   s e n   ( ω t ) ) = a ω   c o s   ( ω t )

d z d t = d d t ( b ω t ) = b ω

Então a integral fica

L   = ∫ 0 2 π ( - a ω   s e n   ( ω t ) ) 2 + ( a ω   c o s   ( ω t ) ) 2 + ( b ω ) 2 d t

Passo 3

Temos que

c o s 2 ( ω t ) + s e n 2 ( ω t ) = 1

Assim,

L   = ω ∫ 0 2 π a 2 + b 2 d t

Resolvendo essa integral e aplicando os limites:

L   = ω a 2 + b 2 (   t ) | 0 2 π = 2 π ω a 2 + b 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 2 π ω a 2 + b 2 .

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