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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 14a

Calcule o comprimento do arco de curva sobre o intervalo

y   =   1 3 x 3 2 - x 1 / 2 sobre [ 0,1 ]

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Dessa vez, queremos calcular o tamanho de uma curva. Nessa questão, a nossa curva é descrita pela equação

y   =   1 3 x 3 2 - x 1 / 2 sobre [ 0,1 ]

Lembram qual é a fórmula de comprimento de uma curva dada pela função f ( x ) ? Vamos revisar

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

Lembraram? Boa!!! Então vamos nessa!!!

Passo 2

Vamos calcular a derivada da nossa função f ( x ) .

d d x (   1 3 x 3 2 - x 1 / 2 )   =   1 2 x 1 / 2 -   1 2 x - 1 / 2

Então o comprimento da nossa curva fica:

D   =   ∫ a b 1   +   ( f ´ ( x ) ) 2 d x

substituindo f

=   ∫ 0 1 1   +   ( 1 2 x 1 / 2 -   1 2 x - 1 / 2 ) 2 d x

abrindo o produto notável

  = ∫ 0 1 1 2   + 1 4 x   + 1 4 x - 1 d x

retirando as constantes

  = ∫ 0 1 1 2 2   + x   + x - 1 d x

Passo 3

Para podermos finalizar a questão, precisamos calcular

= ∫ 0 1 1 2 2   + x   + x - 1 d x

Bem, fazendo o mmc temos:

∫ 0 1 1 2 2   + x   + x - 1 d x = ∫ 0 1 1 2 2 x   + x 2   + 1 / x d x

= ∫ 0 1 1 2 x + 1 x d x

u   =   x   ⇒   d u   =   1 2 x d x

  ⇒ = ∫ 1 2 x + 1 x d x =   ∫ u 2 + 1 d u

Mas essas integrais são bem conhecidas!!!!

Então temos:

∫ u 2 + 1 d u = 1 3 u 3   +   u   + C

Retornando para a variável x temos

1 3 u 3   +   u + C   = 1 3 x 3   +   x + C ´  

Passo 4

No passo anterior, chegamos a conclusão que a distância da nossa curva era

∫ 0 1 1 2 2   + x   + x - 1 d x   =   1 3 x 3   +   x   | x = 0 x = 1

Aplicando os limites de integração temos que a nossa distância é:

Prontinho, pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Essa deu para trabalhar bem nossa habilidade de manipulação de frações, além de revisarmos como se calcula o comprimento de uma linha formada por uma função!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

=   4 3

Resposta

4 3

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