Calcule o comprimento das curvas:

( c )   x   = y 4 8 + 1 4 y 2 ;   1   ≤   y   ≤   2

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ y i y f   1 + ( d x d y ) 2   d y

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada da curva:

d x d y = d d y ( y 4 8 + 1 4 y 2 ) = y 3 2 - 1 2 y 3

Então a integral fica

L   = ∫ 1 2   1 + ( y 3 2 - 1 2 y 3 ) 2   d y

note que podemos reescrever

1 + ( y 3 2 - 1 2 y 3 ) 2 = 1 4 ( 4 + y 6 - 2 + 1 y 6 ) = 1 4 ( y 6 + 2 + 1 y 6 ) = 1 4 ( y 3 + 1 y 3 ) 2

Assim,

L   = 1 2 ∫ 1 2   ( y 3 + 1 y 3 ) 2   d y = 1 2 ∫ 1 2 ( y 3 + 1 y 3 ) d y

Resolvendo as integrais e aplicando os limites,

L �� = 1 2   ( y 4 4 - 1 2 y 2 ) | 1 2 = 1 2   ( 2 4 4 - 1 2   2 2 - 1 4 + 1 2 )

L   = 1 2   ( 4 + 1 8 ) = 33 16

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 33 16 .

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