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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Listas de Integrais – Questão 6.5b

Monte a integral que calcula o comprimento de arco em cada um dos casos; quando possível, resolva a integral

b )   f x = 1 - x 2 ,   x ∈ - 1,1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função

f x = 1 - x 2

E pediu o comprimento de arco

Pergunta de milhões: Como achar esse valor?

A fórmula do comprimento de arco é a seguinte

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Belê?

Então é isso que vamos fazer! A ideia é usar a fórmula do arco, mas com a função dada no problema! E aí é #partiu integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O comprimento de arco é

c = ∫ 1 + f ' 2 d x

Aí

f x = 1 - x 2

f ' = - x 1 - x 2

E elevando ao quadrado e somando uma unidade temos temos

f ' 2 + 1 = x 2 1 - x 2 + 1 = 1 - x 2 + x 2 1 - x 2

E nosso integrando fica assim

1 + f ' 2 = 1 1 - x 2 = 1 1 - x 2

Tudo bem até aqui?

Agora vamos substituir na integral

c = ∫ - 1 1 1 1 - x 2 d x

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Precisamos resolver essa integral definida

c = ∫ - 1 1 1 1 - x 2 d x

Fazendo por substituição trigonométrica

x = sen ⁡ θ

d x = cos ⁡ θ d θ

E também 1 - x 2 = 1 - s e n 2 θ = cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ . Beleza?

Temos

∫ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ = ∫ d θ = θ

Tudo bem até aqui?

Voltando para x e aplicando nos limites

θ = arcsin ⁡ x - 1 1 = arcsin ⁡ 1 - arcsin ⁡ - 1

Mas a função arco seno é ímpar, então

= 2 arcsin ⁡ 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

2 arcsin ⁡ 1

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