Calcule o comprimento das curvas:

(a) y = x^2 / 2 - ln(x) / 4; 2 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ x i x f   1 + ( d y d x ) 2   d x

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular a derivada da curva:

d y d x = x - 1 4 x = 4 x 2 - 1 4 x

Então a integral fica

L   = ∫ 2 4   1 + ( 4 x 2 - 1 4 x ) 2   d x

note que podemos reescrever

1 + ( 4 x 2 - 1 4 x ) 2 = 16 x 2 + 16 x 4 + 1 - 8 x 2 16 x 2 = 8 x 2 + 16 x 4 + 1 16 x 2 = ( 4 x 2 + 1 ) 2 ( 4 x ) 2

Assim,

L   = ∫ 2 4   ( 4 x 2 + 1 ) 2 ( 4 x ) 2   d x = ∫ 2 4 (   1 + 1 4 x )   d x

Resolvendo as integrais,

L   = (   x   + 1 4 l n   x ) | 2 4 = 2 + 1 4 l n ( 2 )

L   = 2 + 1 4 l n ( 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = 2 + 1 4 l n ( 2 ) .

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