UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P2 - 2008.2, Questão 4
Determinar em o comprimento da curva
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva paramétrica no intervalo de a . Para isso, a gente pode usar a fórmula do comprimento de arco:
Onde é o intervalo considerado e é o módulo do vetor representado por equações paramétricas, que é calculado da seguinte forma:
No nosso caso, o vetor é e e representam suas componentes. Então, nós vamos derivar as componentes desse vetor, calcular o módulo dele (elevando as componentes ao quadrado e somando dentro da raiz) e substituir na integral do comprimento da curva.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando , derivando as componentes de :
Elevando as componentes ao quadrado:
Somando os termos semelhantes:
Colocando em evidência:
Tirando da raiz:
Fatorando o termo que ficou dentro da raiz, temos:
Então, também podemos tirar da raiz:
Passo 3
Agora vamos substituir o resultado do passo anterior na integral:
Usando e :
Colocando a constante do lado de fora da integral e expandido o integrando:
Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração:
E temos nosso comprimento:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉