16. Determine o comprimento de arco da curva r = θ^2 . 0 ≤ θ ≤ pi .

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos o comprimento de arco da curva:

  r   =   θ 2 ,     0   ≤   θ   ≤   π   .

Esse comprimento é dado pela seguinte relação:

L = ∫ θ i   θ f   d θ r ( θ ) 2 + ( d d θ r ( θ ) ) 2  

então precisamos calcular essa integral. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é calcular a derivada de r ( θ ) :

d   r ( θ ) d θ   = d d θ (   θ 2 )

Temos que

d   r ( θ ) d θ = 2 θ

O próximo passo é resolver a integral. Vamos lá!

Passo 3

Vamos calcular a integral! Podemos começar substituindo os termos

L = ∫ θ i   θ f   d θ r ( θ ) 2 + ( d d θ r ( θ ) ) 2   = ∫ 0 π d θ ( θ 2 ) 2 + ( 2 θ ) 2  

então,

∫ 0 π d θ ( θ 2 ) 2 + ( 2 θ ) 2   = ∫ 0 π d θ ( θ 2 + 4 ) θ

Para resolver, vamos fazer a seguinte substituição:

u = θ 2 + 4

d u = 2 θ d θ

substituindo na integral

∫ 0 π d θ ( θ 2 + 4 ) θ = ∫ d u u 1 2

resolvendo

∫ d u u 1 2 = 1 2 u 3 / 2 3 / 2 = u 3 / 2 3 = [ ( θ 2   + 4 ) 3 / 2 3 | 0 π   ]

∫ 0 π d θ ( θ 2 + 4 ) θ = [ ( θ 2   + 4 ) 3 / 2 3 | 0 π   ] = ( π 2   + 4 ) 3 / 2 3 - ( 0 2   + 4 ) 3 / 2 3

L = ∫ 0 π d θ ( θ 2 + 4 ) θ = ( π 2   + 4 ) 3 / 2 3 - 8 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

L = ( π 2   + 4 ) 3 / 2 3 - 8 3 .

Exercícios de Livros Relacionados