Establecer integrais para os comprimentos das curvas cujas equações são

(b) x = t + ln t, y = t - ln t, 1 ≤ t ≤ e

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos que o comprimento da curva é dado pela integral

  L   = ∫ t i t f   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2   d t

Então vamos montar e calcular essa integral! Saca só!

Passo 2

Para montarmos a integral do comprimento precisamos calcular as derivadas:

d x d t = 1 + 1 t

d y d t = 1 - 1 t

Então a integral fica

L   = ∫ 1 e   ( 1 + 1 t ) 2 + ( 1 - 1 t ) 2   d t

Assim,

L   = ∫ 1 e   2 ( 1 + 1 t 2 )     d t

Passo 3

Note que para t = e - x , temos que

L   = ∫ 1 e   2 ( 1 + 1 t 2 )     d t = 2 ∫ 0 1   ( 1 + e 2 x )     d t = 2 L a

Sendo, L a o comprimento da curva do item anterior.

A questão foi isso! Te vejo na pr��xima! Tchau Tchau!

Resposta

L   = ∫ 1 e   2 ( 1 + 1 t 2 )     d t .

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