UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P3 - 2008.2, Questão 3
Consideremos a espiral . Determinar o comprimento desta curva para como função de . Calcular . Determinar de tal maneira que .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente determinar o comprimento da curva , no intervalo , e depois usar a função de que encontraremos para determinar e .
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas polares:
Assim, vamos substituir os dados do enunciado na integral e calcular o comprimento da curva.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando em relação a :
Substituindo , o intervalo e na integral, temos:
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência:
Passo 3
Pra resolver essa integral, vamos chamar . Dessa forma, temos:
Substituindo na integral:
Agora podemos usar a regra da potência para integrar ():
Antes de aplicar os intervalos de integração, vamos voltar pra nossa variável inicial, usando :
Aplicando os intervalos:
Passo 4
Agora vamos encontrar e . Primeiro substituindo na função :
Passo 5
Agora fazendo , temos:
Colocando em evidência:
Tirando a raiz cúbica dos dois lados:
Agora elevando os dois lados ao quadrado:
Isolando :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉