Calcule o comprimento de arco da curva y = 1 - x 2 , onde - 0,2 < x < 0,3 .

Passo 1

Pra calcular comprimento de arco, sabemos que existe uma fórmula que nos ajuda. O comprimento do arco L de uma função f x num intervalo [ a , b ] vai ser:

∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então, pro nosso problema aqui, vamos escrever que:

∫ - 0,2 0,3 1 + y ' 2 d x

E pra resolvê-lo, calculamos y ' = f ' x :

y ' = - x 1 - x 2

Passo 2

Com y ' calculada, vamos substituir na expressão do comprimento do arco:

L = ∫ - 0,2 0,3 1 + - x 1 - x 2 2 d x = ∫ - 0,2 0,3 1 + x 2 1 - x 2 d x

E então, tirando o MMC entre os termos dentro da raiz, teremos:

∫ - 0,2 0,3 1 1 - x 2 d x = ∫ - 0,2 0,3 1 1 - x 2 d x

Passo 3

Pra resolver a integral, temos que lembrar que:

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ x + C

Então, no nosso problema:

∫ - 0,2 0,3 1 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ 0,3 - arcsin ⁡ - 0,2

Resposta

∫ - 0,2 0,3 1 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ 0,3 - arcsin ⁡ - 0,2

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Ache o comprimento da curva.y = 3 + (1)/(2) cosh 2 x , 0 = x = 1